6.3.2. Имитация нестационарных случайных процессов

В общем случае возмущения в исследуемой СС могут быть нестационарными сл. пр. Для целей статистического моделирования, в процессе которого обычно выявляются лишь основные зависимости результата от свойств и параметров случайных возмущений, от разброса данных, накапливается и обрабатывается статистический материал, можно рекомендовать несколько вариантов упрощенной имитации сл. пр.

При статистическом моделировании каждому компьютерному эксперименту ставится в соответствие одна реализация сл. пр. (из множества возможных) в виде возмущающего фактора. В этом смысле имитация сл. пр. заключается в получении множества таких реализаций.

Из п. 5.3 следует, что нестационарный сл. пр. должен иметь, по крайней мере, меняющиеся в зависимости от аргумента (например, времени), математическое ожидание и/или дисперсию. Поэтому требуемые реализации сл. пр. наиболее удобно получать, используя явные выражения для решений дифференциальных уравнений, вводя случайные параметры в эти выражения, либо аддитивные стационарные сл. пр.

При этом возможны следующие варианты:

1. Алгоритм получения нестационарного сл. пр. может иметь вид:

y(t) = f(t, a) (6.35)

где y(t) ‑ выходная переменная эквивалентного динамического звена, описываемого системой дифференциальных уравнений вида (4.10); a ‑ вектор параметров в виде случайного вектора с заданным вектором математических ожиданий m_a и ковариационной матрицей Р. Таким образом, каждый элемент вектора a ‑ случайная величина с заданными математическим ожиданием и дисперсией. Множество реализаций сл. пр. (6.35) будет иметь математическое ожидание в виде функции времени

m_y(t) = f₁(t, m_a),

а его дисперсия будет определяться свойствами функции f и числовыми характеристиками вектора параметров a.

Имитация с помощью выражений (6.35) наиболее часто используется применительно к возмущениям, математические модели которых имеют вид полиномов различной степени. Такие модели удобно применять при описании трендов, медленного нарастания или убывания процессов.

2. Другой вариант имитации нестационарных сл.пр. может быть образован следующим аддитивным выражением:

z(t) = f₂(t, b) + с(t), (6.36)

Здесь z(t) ‑ выходная переменная эквивалентного динамического звена, описываемого системой дифференциальных уравнений вида (4.10); b ‑ вектор детерминированных параметров; с(t) ‑ стационарный или нестационарный сл. пр. с заданными свойствами. При решении прикладных задач подобный вариант часто используют, вводя дискретное время и задавая аддитивную составляющую с(t) в виде случайной последовательности от одного из датчиков случайных чисел. Учитывая, что математическое ожидание z(t) будет определяться выражением m_z(t) = f₂(t, b), математическое ожидание последовательности случайных чисел от датчика обычно задают нулевым. Тогда дисперсия z(t) будет полностью определяться аддитивной составляющей с(t).

На рис. 6.5 приведена одна из реализаций нестационарного случайного процесса, сформированного в варианте (6.36).

Рис. 6.5. Вариант реализации сл. пр.

Математическое ожидание сл. пр. (6.36) формируется выражением для m (показано в рамке на рис. 6.5) в виде (31  1)-вектора. Аддитивная составляющая задана (см. рис. 6.5) в виде (31  1)-вектора нормально распределенных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равным 50. График на рис. 6.5 содержит зависимости математического ожидания и реализации сл. пр. от вектора t значений времени. Каждое обращение к файлу, представленному на рис. 6.5, будет давать новую реализацию такого сл. пр.

Перечисленными вариантами возможные способы имитации нестационарных сл. пр., конечно, не исчерпываются. Однако, несмотря на кажущуюся простоту, выражения (6.35) и (6.36) обеспечивают возможность имитации весьма широкого набора возмущений в виде сл. пр.