Варианты формирующих фильтров

Кх(τ)	Аф	Вф	Нф	W(р)/d
σ2е– α |τ|	– α	D	1	1/(р + α)
σ2е– α |τ| [cosβτ + (α/β) sinβ| τ |]			| 1 0 |
σ2е– α |τ| [cosβτ – (α/β) sinβ| τ |]			| 1 0 |
σ2е– α |τ| cos βτ			| 1 0 |

В табл. 6.1 использованы обозначения: , .

Описанный путь определения параметров формирующего фильтра с использованием выражения (6.28) может служить основой и для получения случайных последовательностей, учитывая материал пп. 6.2.2 и 6.2.3. Этот путь принципиально может быть распространен и на генерацию векторных процессов и последовательностей. Однако трудности решения задач факторизации в матричном варианте не позволяют считать этот способ получения векторных процессов практически удобным и перспективным.

Другой подход, не требующий решения задач факторизации, базируется на табличном (численном) задании корреляционных функций (матриц) и позволяет с помощью достаточно простого алгоритма получить параметры разностных уравнений формирующих фильтров для генерации скалярных и векторных случайных последовательностей. В этой постановке предполагается, что случайная последовательность получается на выходе дискретного динамического звена, аналога непрерывного звена с передаточной функцией W(р).

Пусть на вход динамического звена порядка n ≥ 1 поступает скалярная последовательность типа белого дискретного шума с интенсивностью q₁. Пусть также даны значения корреляционной матрицы K_j (j = 0, N) стационарного случайного вектора x_фk, k = 0,.., L. Значения K_j и K_j+1 разделены интервалом дискретности T. Требуется получить параметры разностного (дискретного) эквивалента формирующего фильтра вида

x_{фk + 1} = Φ_ф(T) x_фk + Γ_ф(T) w_k , x_ф(0) = x_ф0. (6.29)

Здесь x_фk ‑ (n  1)-вектор состояния фильтра; w_k ‑ скалярный дискретный белый шум с интенсивностью q₁ и нулевым средним.

Уравнению соответствует ковариационное уравнение вида (6.21):

P_фk+1 = Φ_ф(T) P_фk Φ_ф^Т(T) + Γ_ф(T) q₁Γ_ф^Т (T), (6.30)

где P_фk ‑ ковариационная матрица для вектора x_фk , P_ф0 ‑ задана.

Поскольку значения K_j = K(jT) и K_j+1 = K[(j+1)T] разделены постоянным интервалом дискретности T, можно записать:

K[(j+1)T] = Φ_ф(T)K(jT). (6.31)

Из (6.31) следует, что каждая пара корреляционных матриц, разделенных отрезком T, обеспечивает возможность получения матрицы Φ_ф(T).

Выражения (6.31) для значений j = 0, N дают систему из N матричных уравнений, решая которую методом наименьших квадратов, получаем искомую матрицу Φ_ф(T) фильтра (6.29) по всему множеству данных:

Φ_ф(T) = . (6.32)

Из условия стационарности (6.14) при P_фk+1 = P_фk = Р_ф и ковариационного уравнения (6.30) находим матрицу Γ_ф(T), чем завершается определение параметров формирующего фильтра (5.29). В работе [5] приводятся примеры применения описанного алгоритма (6.29)-(6.32).

Получение параметров разностного уравнения формирующего фильтра позволяет, в случае необходимости, найти дифференциальные уравнения его непрерывного аналога. Эта возможность обеспечивается применением взаимно обратных преобразований [5] непрерывных и дискретных моделей динамических систем.

Уравнения формирующих фильтров служат неотъемлемой частью математической модели СС, позволяя сводить практические задачи анализа СС к исходным формам (6.5) или (6.17) и использовать при анализе систем весь арсенал средств, разработанных для этих форм.

Пример 6.2. Для варианта корреляционной функции, приведенного во второй строке табл. 6.1:

а) проверить соответствие передаточной функции формирующего фильтра матрицам (А_ф, В_ф, Н_ф) дифференциальных уравнений в форме Коши;

б) найти спектральную плотность выходного сигнала формирующего фильтра при входном белом шуме единичной интенсивности.

Решение. Для проверки соответствия формы Коши передаточной функции следует составить формулу перехода от уравнений вида (6.5) к эквивалентным операторным (по Лапласу) соотношениям, связывающим вход и выход динамического звена. Пусть динамическое звено со скалярными входом (белый шум w) и выходом (у) описывается уравнениями вида (6.5):

= A·x + B·w; у = H·x; x(0) = 0. (6.33)

Здесь х = х(t) – n-мерный вектор состояний.

Переходя в область изображений по Лапласу, из приведенного выражения получим: р·х(р) = А·х(р) + В·w(р); у(р) = Н·х(р), где р ‑ оператор Лапласа. Из операторного соотношения получаем выражение, связывающее передаточную функцию W(p) звена с матрицами А и В в (6.33):

у(р) = W(p) w(р); W(p) = Н·(р·Е_n – А)^–1·В, (6.34)

где Е_n ‑ единичная матрица порядка n.

На рис. 6.4 приведены результаты решения данного примера в среде Mathcad с использованием элементов символьных вычислений.

Рис. 6.4. Решение примера 6.2

Результаты подтвердили правильность структуры передаточной функции, указанной в табл. 6.1. При вычислении S_y(ω) использована формула (6.28).

Приведенный материал далеко не исчерпывает все многообразие методов исследования динамических систем со случайными воздействиями. В этом разделе приведены лишь некоторые подходы, которые прочно вошли в практику прикладных исследований СС, их анализа и синтеза.