6.2.3. Дискретная аппроксимация непрерывных стохастических систем

Из предыдущего материала следует, что анализ и моделирование непрерывных СС предполагает интегрирование сложных систем дифференциальных уравнений, правая часть которых содержит белые шумы. Подобный анализ требует привлечения численных методов интегрирования и соответствующих программных средств. В современных условиях это, конечно, не является препятствием для успешного решения большинства задач анализа непрерывных СС, поскольку на данном этапе развития компьютерных технологий имеется широкий набор программных систем компьютерной математики (Maple, Matlab, Mathcad и др.), а также несколько программных сред, среди которых выделяются отечественные среды Anylogic, MvStudium [1, 10]. Однако не все программные среды обеспечивают простоту статистического моделирования и анализа СС. В частности, при анализе динамики изменения вторых центральных моментов (например, дисперсий выходных переменных сложной измерительной системы) в процессе анализа точности или чувствительности [9] необходимо интегрировать матричные дифференциальные уравнения типа ковариационных уравнений (6.11). Это может вызвать затруднения в случае, когда используемая вычислительная среда не предоставляет возможность для численного интегрирования матричных дифференциальных уравнений. В таких случаях прибегают к так называемой дискретной аппроксимации непрерывных СС, в результате которой моделирование и анализ СС проводят с использованием рекуррентных уравнений, (см. п. 6.2.2.), значительно более простых в практическом применении. Рассмотрим основные соотношения, сопровождающие указанную аппроксимацию, опуская детальное обсуждение точностных аспектов перехода от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным уравнениям, что составляет сущность одной из стандартных тем вычислительной математики.

Аппроксимация уравнений состояния непрерывных СС разностными уравнениями возможна при выполнении условий временной и статистической эквивалентности [5]. Необходимость выполнения этих условий с тем, что уравнения (6.5) или (6.17) передают не только временную изменчивость состояний СС, но и определяют законы изменения числовых характеристик распределений случайных переменных в переходных процессах. Рассмотрим указанные условия в рамках предположений, принятых ранее, в том числе А = const.

Для перехода от системы уравнений (6.5) к эквивалентным разностным уравнениям перейдем на отрезке (t₀, t) к дискретному времени и рассмотрим решение уравнений (6.5) на двух соседних интервалах. Пусть этому отрезку соответствует k интервалов дискретности Т, причем kT = t – t₀.

Запишем при t₀ = 0 решение системы (6.5) для момента времени t

, (6.22)

и введем обозначения x(t) = x(kT) = x_k; x(0) = x₀. Тогда используя свойство матричной экспоненты Ф(t) = exp(At):

Ф(t) = Ф(kT) = Ф^k (Т) = Ф(Т) Ф[(k – 1)T],

перепишем выражение (6.22) в виде решения для момента времени t_k:

x_k = Ф^k (Т) x₀ + . (6.23)

Решение уравнений (6.5) в момент t_k+1 = t_k + T = (k + 1)T может быть получено аналогично. Выражая это решение через решение для k-го момента времени, имеем:

x_{k + 1} = Ф(Т) x_k + . (6.24)

Введение дискретного времени означает, кроме того, что значения переменных уравнений (6.23) постоянны на интервале дискретности Т, например, u(t) = u_k, w(t) = w_k для kT  t < (k + 1)T. Поэтому белые шумы w(t) с матрицей интенсивности Q и M[w(t)w^T()] = Q(t – ) при введении дискретного времени заменяются последовательностями w_k типа дискретного белого шума с матрицей интенсивности Q₁ и корреляционной матрицей M[ ] = Q₁δ_ij, где (t – ) и δ_ij ‑ дельта-функция и символ Кронекера соответственно.

Тогда, учитывая выражения (6.23) и (6.24), заменим дифференциальные уравнения (6.5) разностными вида (6.17):

x_{k + 1} = Ф(Т)x_k + Г(T)w_k + Δ(T)u_k; y_{k + 1} = H₁x_{k + 1}; x(0) = x₀. (6.25)

Временнáя эквивалентность уравнений (6.5) и (6.25) достигается корректным вычислением матриц Ф(Т), Г(T) и Δ(T), которые зависят от значения интервала дискретности Т и являются постоянными на промежутке времени kT  t < (k + 1)T. Эти матрицы определяются следующими теоретическими соотношениями:

Ф(Т) = ехр(АТ); Г(Т) = ; Δ(T) = ;

Ф(Т) = ; Г(Т) = ; Δ(T) = . (6.26)

При неособенной матрице А используются соотношения:

Г(Т) = А^{– 1} [Ф(Т) – Е] В; Δ(T) = А^{– 1} [Ф(Т) – Е] С.

Матричные степенные ряды (6.26) при правильном выборе значения Т характеризуются быстрой сходимостью, поэтому верхний предел сумм на практике ограничивают константой α ≤ 10.

Проблема выбора допустимых значений Т достаточно хорошо исследована в общей теории систем. При анализе первых начальных моментов (математических ожиданий) вектора x(t) системы (6.5) с использованием разностных уравнений (6.20) выбор значения Т полностью определяется динамическими свойствами системы (6.9) или, что то же, распределением собственных чисел _j ( ) матрицы А n-го порядка.

В общем случае _i имеют вид:  _{i, i + 1} = α _i ± j β _i, где α, β – вещественная и мнимая составляющие собственного значения, j – мнимая единица.

Предполагая исходную систему (6.5) устойчивой и учитывая, что на выбор интервала дискретности Т влияют степень затухания переходных процессов (вещественные составляющие собственных значений) и частота колебаний переменных системы (мнимые части собственных значений), выражение для Т может быть записано в форме:

; ; .

Здесь | _j | _max – максимальный модуль вещественной части собственных чисел матрицы А.

Выбранное таким образом значение Т будет достаточным для сохранения динамических свойств непрерывной системы (6.9) при использовании уравнений (6.20).

В п. 6.2.1 было показано, что вторые центральные моменты распределения вектора состояния системы (6.5) имеют вдвое более быструю динамику изменения по сравнению с динамикой исходной системы или системы (6.9). Поэтому для сохранения свойств вторых моментов распределения вектора состояний системы (6.5) в разностных уравнениях (6.21) необходимо уменьшить найденное значение Т вдвое.

Корректный выбор значений интервала дискретности Т и использование выражений (6.26) представляют лишь необходимые условия эквивалентного перехода от уравнений (6.5) к рекуррентным соотношениям (6.25). Достаточные условия обеспечивают выбор значений матрицы интенсивности Q₁ входной последовательности w_k типа белого шума в зависимости от матрицы интенсивности Q белого шума w и параметров системы (6.5).

В [3] показано, что для матрицы Q₁ может быть использовано простое соотношение вида:

Q₁ ≈ Q/T. (6.27)

Таким образом, при переходе от системы (6.5) к разностному аналогу (6.25), а также от ковариационных уравнений (6.11) к разностным ковариационным уравнениям (6.21), матрица интенсивности Q₁ входной последовательности w_k обратно пропорциональна интервалу дискретности Т и определяется соотношением (6.27), где Q ‑ матрица интенсивностей входного белого шума исходной непрерывной системы (6.5). Практическое использование соотношений (6.26), (6.27) показало, что при указанном алгоритме выбора интервала дискретности Т выражения (6.25) и (6.21) обеспечивают высокую точность вычислений первых и вторых моментов распределений непрерывных СС (6.5).