6.2.2. Реакции дискретных стохастических систем на входной белый шум

Рассмотрим стационарную линейную дискретную стохастическую систему (ЛДСС). В общем случае модель ЛДСС может быть представлена разностными рекуррентными уравнениями (см. п. 4.2 выражения (4.28), (4.29)) с обозначениями переменных, совпадающими с обозначениями, принятыми в (6.5):

x_{k + 1} = Фx_k + Гw_k + Δu_k; y_{k + 1} = H₁x_{k + 1}; x(0) = x₀; k = 0, 1, . N. (6.17)

Здесь x_{k + 1} — n-мерный вектор состояний на (k + 1)-м такте; u_k ‑ неслучайная векторная входная последовательность; y_{k + 1} ‑ векторная выходная последовательность; w_k ‑ векторная последовательность типа дискретного белого шума с нулевым математическим ожиданием и матрицей интенсивностей Q₁:

M[ ] = Q₁ δ_ij , (6.18)

где δ_ij ‑ символ Кронекера (δ_ij = 1 при i = j; δ_ij = 0 при i ≠ j).

Матрицы Ф, Г, Δ, Н ‑ неслучайные, соответствующих размерностей, а вектор x(0) не зависит от w_k.

Как и ранее, кроме введенных предположений, для полного задания модели (6.17) должны быть заданы математические ожидания m₀ = М(x₀) и ковариационная матрица Р₀ = cov[x₀] начального состояния. Также, без потери общности предположим, что вектор u ‑ детерминированный. Ковариационная матрица вектора х системы (6.17) по определению равна:

P_k = M[_k _k^T] = cov[x_k]; _k = x_k – m_k , m_k = М(x_k). (6.19)

Легко убедиться в том, что при сделанных предположениях уравнение для первых начальных моментов (математических ожиданий) вектора x_k может быть записано в форме:

m_{k + 1} = Фm_k + Δu_k; m_{yk + 1} = Hm_{k + 1}; m₀ = M(x₀). (6.20)

Полученное уравнение позволяет осуществить полный анализ динамики поведения дискретной системы (8.94) в среднем.

В отличие от рассмотренного в п. 6.2.1 случая, ковариационное уравнение для дискретных СС (6.17) может быть получено достаточно просто.

Действительно, вычитая уравнение(6.20) для математических ожиданий из исходных уравнений (6.17), запишем рекуррентное соотношение для _k:

_k+1 = Ф_k + Гw_k; _{yk + 1} = H_{k + 1}; ₀ = x₀ – m₀.

Для ковариационной матрицы (6.19) на (k + 1)-ом такте имеем:

P_{k + 1} = М( ) = М[(Ф_k + Гw_k) (Ф_k + Гw_k)^T].

Раскрывая правую часть полученного выражения с учетом общих свойств математического ожидания и статистической независимости вектора _k и входной последовательности w_k, получим ковариационное уравнение для СС (6.17) в виде матричного разностного уравнения:

P_{k + 1} = Ф P_k Ф^T + Г Q₁ Г^T; P_{yk + 1} = H₁ P_{k + 1} H₁^T; P₀ = cov[x₀]. (6.21)

Уравнения (6.20), (6.21) обеспечивают возможность проведения полного анализа СС (6.17), исследования динамики изменения математических ожиданий и вторых центральных моментов вектора состояний СС, установившегося состояния, влияния уровней шумов на протекающие в дискретной системе процессы, определение чувствительности решений, устойчивости системы и прочее.

В прикладной теории динамических систем хорошо известен переход от моделей непрерывных систем к моделям в виде разностных уравнений и использование последних при моделировании процессов, протекающих в непрерывных системах управления. Корректность подобного перехода позволит использовать уравнений вида (6.20), (6.21) для анализа непрерывных СС. Основные элементы такого перехода рассматриваются в следующем разделе.