6.2. Динамическая система с входным белым шумом

Динамическая система со случайными воздействиями была определена ранее как стохастическая система (СС). Анализ СС составляет сущность теории (см., например, [8]), которая активно развивается. Этот анализ требует привлечения теории систем управления, теории вероятностей, теории случайных процессов, теории дифференциальных и разностных уравнений. Подробное изложение теоретических основ исследования СС выходит за рамки настоящего пособия. Поэтому в последующем материале раздела остановимся лишь на части этой теории — на основных элементах анализа линейных СС, преследуя цель описать основные подходы, используемые при решении прикладных задач.

В современной теории систем наибольшее применение нашли методы исследования СС, опирающиеся на концепцию пространства состояний и методы анализа в области времени. При этом ось времени предполагается непрерывной (для непрерывных СС) или дискретной (для дискретных СС). Математическими моделями непрерывных и дискретных СС служат дифференциальные и разностные уравнения соответственно.

Наиболее значимые результаты в решении прикладных задач анализа и синтеза СС получены при использовании математических моделей СС в форме Коши. Эти модели и подходы к анализу СС на их основе рассматриваются ниже.

Другие модели СС — в форме стохастических дифференциальных уравнений Ито и Стратоновича рассматриваются в [8].

6.2.1. Реакции непрерывных стохастических систем на входной белый шум

Линейная непрерывная стохастическая система (ЛНСС), как и детерминированная динамическая система, может быть задана в одной из взаимно обратных форм — в виде передаточных функций (матриц) или систем линейных дифференциальных уравнений. В достаточно общем случае модель ЛНСС имеет вид:

= Ax + Bw + Cu; у = Hx; x(0) = x₀ , (6.5)

где х = х(t) ‑ n-мерный вектор состояний, y = y(t) — m-мерный вектор выходных переменных, u = u(t) — l-мерный вектор входных (управляющих воздействий), w = w(t) — r-мерный вектор входных белых шумов с матрицей интенсивностей Q:

M[w(t)w^T()] = Q (t – ). (6.6)

Матрицы А, В, С, Н, Q — неслучайные, соответствующих размерностей, а вектор x(0) не зависит от w.

Без потери общности предположим, что вектор u ‑ детерминированный, а вектор w имеет нулевое математическое ожидание. Ковариационная матрица вектора х, по определению (5.97) равна:

P(t) = M[(t) ^T(t)] = cov[x(t)]; (t) = x(t) – m_x(t), (6.7)

где m_x(t) ‑ математическое ожидание вектора x(t).

Начальная ковариационная матрица

P(0) = M[(0) ^T(0)] = cov[x(0)] (6.8)

отражает неопределенность начального состояния системы (6.5). Бóльшая неопределенность соответствует бóльшим значениям дисперсий элементов x(0) (диагональных элементов P(0)). При некоррелированных составляющих вектора x(0) матрица P(0) ‑ диагональная. Недиагональные элементы матрицы (6.8), в силу свойства (5.66) корреляционных моментов, удовлетворяют неравенствам |P_{i j}(0)| ≤ σ_iσ_j, где σ_i ‑ среднее квадратическое отклонение i-го элемента вектора x(0).

Выше отмечалось, что форма (6.5) наиболее широко используется при решении прикладных задач. В системах управления динамических объектов (летательные аппараты, морские подвижные объекты, энергетические агрегаты, объекты химической промышленности и прочее) используются устройства и алгоритмы обработки информации на основе математических моделей вида (6.5). Однако эта форма нуждается в комментариях, которые касаются понятия производной случайной функции и допустимости введения белых шумов в правые части дифференциальных уравнений.

Эти вопросы освещаются в приложении 2, где показывается, что необходимым и достаточным условием дифференцируемости случайной функции служит существование производной ее математического ожидания и второй смешанной производной ее корреляционной функции. Далее будем предполагать, что эти условия удовлетворяются.

Уравнения (6.5) описывают динамику системы, поэтому моменты распределения векторных случайных функций x(t) и у(t) также являются функциями времени и могут быть представлены дифференциальными уравнениями. Получим эти уравнения в предположении постоянства элементов матрицы А в (6.5); это предположение несколько упростит последующие преобразования, однако вид полученных выражений будет справедлив и для матриц A(t).

Используя свойства (5.73)-(5.77) математических ожиданий и свойство производной случайной функции (см. приложение 2)  = M( ), при сделанных предположениях о модели (6.5) уравнение для первых начальных моментов (математических ожиданий) вектора x(t) может быть записано в форме:

= Am_x + Cu; m_у = Hm_x; M[x(0)] = m_x(0). (6.9)

Полученное уравнение позволяет осуществить полный анализ динамики поведения рассматриваемой системы в среднем.

Вторые центральные моменты элементов вектора х(t), объединяются ковариационной матрицей P(t) (6.7). Поскольку вектор х(t) описывается уравнениями (6.5), элементы матрицы P(t) (дисперсии и корреляционные моменты составляющих вектора х(t)) также будут функциями времени. Динамика изменений элементов матрицы P(t) может быть описана двумя матричными соотношениями:

P(t) = Ф(t)P(0)Ф^T(t) + τ)BQB^T Ф^T(t – τ)dτ. (6.10)

(t) = АР(t) + Р(t)А^T + BQB^T; P(0) = cov[x(0)]. (6.11)

В (6.10) Ф(t) = exp(At) ‑ матричная экспонента.

Вывод уравнений (6.10), (6.11) рассмотрен в [3].

Нетрудно видеть, что соотношение (6.10) позволяет получать значения матрицы P(t) как функции времени. Это важно при анализе переходных процессов дисперсий и других вторых центральных моментов элементов вектора x(t) в широком классе практических задач исследования СС. Однако практика использования уравнения (6.10) с этой целью показывает, что значительно более удобным является применение матричного дифференциального уравнения (6.11), решением которого служит (6.10).

Матричное дифференциальное уравнение (6.11) носит название ковариационного уравнения.

Вектор выходных переменных y(t) = Hx(t) связан с вектором состояний x(t) линейным преобразованием. Поэтому, в силу соотношения (5.101), ковариационная матрица вектора y(t) находится по выражению

Р_y(t) = HР(t)H^T. (6.12)

Уравнения (6.9) и (6.11), (6.12) имеют весьма большое значение при анализе динамических систем со случайными воздействиями. Действительно, полученные выражения позволяют осуществлять полный анализ динамики изменения средних значений и центральных моментов второго порядка элементов вектора х(t) состояний системы (6.5) и выходных переменных. Анализ осуществляется путем интегрирования матричных дифференциальных уравнений (6.11) для математических ожиданий и ковариационной матрицы вектора состояний. В процессе анализа могут быть исследованы динамические свойства первых и вторых моментов распределений векторов x(t) и y(t), их установившиеся значения (при их существовании), оценено влияние уровней шумов и параметрических вариаций на решения, определена чувствительность, устойчивость СС и прочее.

Из свойств систем дифференциальных уравнений следует, что если система (6.5) ‑ устойчивая (собственные числа матрицы А располагаются в левой полуплоскости), то устойчивы и динамические системы, описываемые матричными уравнениями (6.9) и (6.11).

Следует отметить, что динамика изменения переменных в уравнениях (6.9) и (6.11) отличается. В работах [3, 5] показано, что вторые центральные моменты распределения вектора состояний х(t) системы (6.5) имеют вдвое более быструю динамику изменения по сравнению с динамикой исходной системы или системы (6.9). Так, например, для устойчивой системы (6.5) переходные процессы, которые определяются ковариационным уравнением (6.11) и характеризуют изменение во времени вторых центральных моментов распределений вектора x(t), достигнут своих установившихся значений вдвое быстрее, чем элементы вектора математических ожиданий, удовлетворяющие уравнению (6.9). Убедиться в истинности этого утверждения можно, представив уравнения (6.9) и (6.11) в единой форме, в виде системы дифференциальных уравнений, в левой части которых вектор первых производных. Это означает, что ковариационное уравнение (6.11) должно быть преобразовано в эквивалентную форму Коши с матрицей динамики A_p. Интегрируя эти уравнения, можно убедиться в ускорении динамики изменений элементов Р(t) по сравнению с динамикой m(t). При исходном n-мерном векторе состояний х(t) системы (6.5), ковариационная матрица Р(t) содержит n² элементов. Однако, в силу симметричности ковариационной матрицы Р(t), эквивалентная (6.11) форма Коши имеет лишь n_p = n(n + 1)/2 уравнений, а матрица A_p эквивалентной формы Коши будет иметь порядок n_p. Так, для случая А = const, после приведения матричного уравнения (6.11) к форме Коши, сопоставление динамических свойств систем (6.9) и (6.11) можно осуществить путем сравнения собственных чисел матриц A и A_p. Такое сопоставление показывает, что

‑ n собственных чисел матрицы A_p образуются удвоением собственных чисел матрицы A;

‑ остальные n(n – 1)/2 собственных числа матрицы A_p образуются попарными суммами собственных чисел матрицы A.

Выявленное свойство является важным как для понимания характера процессов, протекающих в стохастической системе, так и для численного интегрирования систем (6.5), (6.9) и (6.11), (6.12). Это свойство означает, что при выбранном, исходя из динамики системы (6.9), шаге дискретности Т, моделирование уравнений (6.11) должно осуществляться с шагом дискретности Т_р ≤ Т/2.

Как отмечалось, полученные выражения позволяют, кроме переходных процессов, определять и установившиеся значения моментов распределений. Предположим, что система (6.5) ‑ устойчивая, а входные (управляющие) воздействия имеют конечные установившиеся значения u(∞). Тогда, при ранее сделанных предположениях, установившиеся значения математических ожиданий m_x вектора состояния системы (6.5) и выходных переменных определятся из (6.9) при условии = 0, т. е. соотношениями вида:

m_x(∞) = – А^{– 1}Сu(∞); m_y(∞) = Hm_x( ∞). (6.13)

Аналогично, установившиеся значения вторых центральных моментов Р(∞) вектора состояния устойчивой системы (6.5) могут быть определены из матричного уравнения (6.11) при (t) = 0, т. е. из решения уравнения Ляпунова

АР + РА^Т + BQB^T = 0. (6.14)

Найденное решение Р(∞) уравнения (6.14) может быть использовано для анализа установившегося режима ковариационной матрицы выходных переменных системы (6.5):

Р_y(∞) = HР(∞)H^T. (6.15)

Другой способ анализа установившихся значений вторых центральных моментов основан на получении установившегося режима ковариационного уравнения с помощью эквивалентной (6.11) формы Коши с матрицей динамики A_p и соотношений, аналогичных (6.13). Проиллюстрируем выявленные свойства на простом примере.

Пример 6.1. Пусть на вход системы (6.5) третьего порядка с матрицами

поступают единичное воздействие (u = 1) и белый шум единичной интенсивности (Q = 1) с нулевым математическим ожиданием. Определить:

а) установившиеся значения математического ожидания и дисперсии выходной переменной;

б) динамические свойства процессов изменения математических ожиданий и вторых центральных моментов;

в) построить графики переходных процессов математического ожидания и дисперсии выходной переменной.

Решение. Вопросы примера составляют сущность обычной и весьма распространенной задачи анализа стохастической системы. Ответы на эти вопросы требуют привлечения систем компьютерной математики (СКМ). При решении применим Mathcad.

а) Для вычисления установившихся значений математического ожидания и дисперсии выходной переменной необходимо найти решения линейных алгебраических уравнений, которые получаются при условиях: = 0 для уравнения (6.9) и (t) = 0 для ковариационного уравнения (6.11), (6.12). Для математического ожидания при этом условии имеем выражение (6.13), а для ковариационного уравнения — матричное уравнение Ляпунова (6.14). На рис. 6.2 представлены результаты вычислений.

Значение математического ожидания выходной переменной в установившемся режиме достигает значения m_y(∞) ≈ 0,1. Для решения матричного уравнения (6.14) применен вычислительный блок, между ключевыми словами (given и find) которого заключено уравнение Ляпунова для исходных данных примера. В качестве начального приближения P выбрана единичная матрица, заданная встроенной функцией identity. Установившаяся ковариационная матрица (см. рис. 6.2) обозначена D. Выведен вектор дисперсий d установившихся состояний и дисперсия D_y выходной переменной в установившемся режиме системы: D_y(∞) = 0,0135. При ее вычислении использована формула (6.15).

Рис. 6.2. Установившиеся значения моментов выходной переменной

б) Для ответов на оставшиеся вопросы необходимо перейти от ковариационного уравнения (6.11) к эквивалентной форме Коши вида:

= A_pр + В_p; D_y = Н_pp. (6.16)

Для исходной системы третьего порядка (n = 3) вектор р системы уравнений (6.16) имеет n (n + 1)/2 = 6 элементов; A_p — (6  6)-матрица, В_p — (6  1)-вектор; D_y — дисперсия выходной переменной.

Вектор состояний p(t) формы Коши (6.16) образуем последовательной состыковкой трех векторов нижнего треугольного блока матрицы Р(t), начиная с первого. Тогда, структура матриц A_p, В_p, Н_p системы дифференциальных уравнений (6.16) определяется принятым порядком перечисления элементов матрицы P в векторе p(t) и достаточно просто получается с использованием символьных преобразований в системе Mathcad над выражением правой части ковариационного уравнения (6.11). Ниже эти матрицы представлены в виде копии соответствующего mcd-файла:

Для проверки правильности этих матриц, определим установившееся значение дисперсии выходной переменной, исходя из уравнений (6.16): D_y(∞) = = – Н_p∙А_p^–1∙В_p = 0,0135. Полученное значение совпало с ранее определенным значением (см. рис. 6.2), откуда следует, что системы уравнений (6.11) и (6.16) эквивалентны.

Динамические свойства процессов изменения математических ожиданий состояний рассматриваемой системы, в силу уравнений (6.9), полностью определяют собственные числа исходной матрицы А, а динамика вторых центральных моментов определяется собственными числами матрицы А_p уравнений (6.16). Эти собственные числа определяются ниже с применением встроенной функции eigenvals (копия mcd-фрагмента):

Сопоставляя собственные числа матрицы А_p с собственными числами матрицы А, убеждаемся в справедливости описанных выше соотношений между собственными числами матриц А и А_p и утверждения об ускорении динамики изменения вторых центральных моментов по сравнению с динамикой исходной системы. Согласно этому утверждению процесс изменения дисперсии D_y(t) выходной переменной системы будет затухать ровно вдвое быстрее, чем ее математическое ожидание m_y(t). Учитывая значения собственных чисел матрицы A, процессы в системе (6.9) входят в однопроцентную зону затухания примерно за 17 единиц времени. Поэтому следует ожидать, что затухание процессов изменения дисперсии выходной переменной произойдет приблизительно за 8,5 ед. времени.

в) На рис. 6.3 приведены графики изменения дисперсии D_y(t) выходной переменной (пунктир) и m_y(t) (сплошная кривая). График хорошо иллюстрирует отмеченный факт ускорения переходных процессов для вторых центральных моментов.

Рис. 6.3. Графики изменения выходной переменной и ее дисперсии

Вектор начальных значений p(0) при расчетах имел единственный ненулевой элемент, расположенный на первом месте и равный 0.2.. Более подробно пример 6.1 рассмотрен в работе [5].

На основе уравнений (6.9), (6.11), (6.12), (6.16) может быть осуществлено решение широкого класса задач анализа непрерывных СС. Эти задачи связаны с исследованием динамических свойств первых и вторых моментов распределения вектора состояний, анализом установившегося режима и влияния уровней шумов на протекающие в системе процессы, анализом чувствительности решений к вариациям исходных данных, анализом устойчивости систем и многими другими проблемами. Аналогичный анализ может быть проведен применительно к дискретным СС, свойства которых рассматриваются в следующем разделе.