6. Общие принципы имитации случайных возмущений

Статистическое моделирование производится, как отмечалось, с использованием имитационных моделей (ИМ) исследуемых систем, факторами в которых, наряду с детерминированными параметрами и процессами, служат случайные величины и процессы, свойства которых подробно рассматривались в п. 5.

Необходимость имитации случайных возмущений возникает в двух основных случаях:

‑ при формировании математических моделей стохастических систем (СС);

‑ при проведении вычислительных экспериментов с ИМ.

В первом случае сформированная модель СС предполагает возможность ее использования как для проведения аналитического или численного исследования, так и исследования на основе компьютерных экспериментов, в котором модель СС играет роль ИМ.

Во втором случае имитация случайных возмущений предполагает формирование массивов входных данных, элементы которых будут использованы при осуществлении каждого вычислительного эксперимента в запланированной серии. Эти массивы данных задаются таблично или с помощью определенных соотношений.

Ниже рассматриваются основные подходы, позволяющие имитировать случайные возмущения для двух отмеченных выше приложений. Материал п. 5 исключает необходимость подробных пояснений при рассмотрении отдельных видов имитируемых случайных величин и процессов.

6.1. Имитация случайных величин

При формировании математических моделей СС случайные величины, имитируемые в качестве внутренних и внешних возмущающих воздействий, включаются в состав вектора состояний (переменных, участвующих в модели). Учитывая свойства с.в. (см. п. 5), наибольшее распространение получили следующие дифференциальная и разностная формы их представления.

Пусть Х ‑ случайная величина с математическим ожиданием m_x и дисперсией σ². В составе вектора состояний математической модели эта с. в. вводится в простейшей формах дифференциального или разностного уравнения, учитывающих постоянство значения с. в. в течение одного локального эксперимента:

= 0: x_{k + 1} = x_k ; М(Х) = m_x; D(Х) = σ². (6.1)

В (6.1) использованы обозначения, введенные в пп. 4.2 и 5.1.

Если возмущающие воздействия представляют совокупность случайных величин, математическая модель должна содержать векторный аналог выражений (6.1) с указанием вектора математических ожиданий m_x и ковариационной матрицы Р:

= 0: x_{k + 1} = x_k ; М(Х) = m_x; cov(Х) = Р. (6.2)

Здесь Х ‑ векторная случайная величина, свойство которой были рассмотрены в п. 5.2.

Для имитации с. в. в целях реализации компьютерных экспериментов с ИМ используются массивы данных в виде совокупности возможных значений случайных величин с заданными вероятностными свойствами. Современные среды моделирования, в которых реализуются ИМ, как правило, имеют обширный набор датчиков случайных чисел с достаточно широким набором законов распределений. При наличии в выбранной среде моделирования требуемого распределения имитируемой с. в., указанные массивы данных формируют с помощью датчиков, случайных чисел, задавая вид и параметры распределения, объем выборки. В Приложении 1, при описании типовых распределений с. в., указаны возможные форматы команд обращения к соответствующим датчикам.

В случаях, когда требуемое распределение имитируемой с. в. отсутствует в используемой среде моделирования, можно применить прием, основанный на теории функций случайных величин. Опуская теоретические основы [3], опишем общую процедуру генерации значений с. в. с заданным законом распределений.

Типовая задача имитации случайного воздействия заключается в следующем. Пусть Y = (Х), причем с. в. Х имеет равномерное распределение в диапазоне (0, 1), функция (Х) ‑ монотонно возрастающая, а требуемая плотность распределения с. в. Y равна f_y(у). Пусть также имеется совокупность равномерно распределенных случайных чисел х* с указанными свойствами. Требуется получить совокупность случайных чисел у* с заданной плотностью распределения f_y(у).

Для введенных переменных можно записать следующее уравнение связи случайных чисел у* с параметрами требуемого распределения f_y(у) и значениями х* случайной величины Х:

х* = , х* = Ψ(у*). (6.3)

Из (6.3) следует, что искомые значения у* (верхний предел интегрирования) — квантили заданного распределения с плотностью f_y(у), а равномерно распределенные на интервале (0, 1) числа х* — значения функции этого распределения (5.9). В общем случае выражение (6.3) может служить основой итерационной процедуры нахождения верхнего предела интегрирования по известным значениям интеграла и заданной подынтегральной функции.

При использовании систем компьютерной математики (СКМ) проблема практического получения значений случайных чисел у* в указанной постановке резко упрощается. Так, например, в среде Mathcad для вычисления квантилей предусмотрены встроенные функции, первый символ которых — латинская буква q. Аргументами этих функций служат значения функции распределения (в нашем случае — значения х*, порядок квантили) и параметры заданного закона распределения f_y(у).

Пример 6.1. Сформировать с использованием (6.3) n независимых случайных чисел, распределенных по показательному закону с  = 1.

Решение. Примем объем реализации n = 1000. На рис. 6.1 приведены результаты применения формулы (6.3) для получения в среде Mathcad случайных чисел у* с заданным распределением. Исходная равномерно распределенная на интервале (0, 1) последовательность независимых случайных чисел х* формируется в примере в виде вектора a с использованием встроенной функции runif(n, 0, 1).

Рис. 6.1. Пример получения случайных чисел

Искомые значения случайных чисел у* с показательным распределением (см. Приложение 1) при  = 1 определяется в первой же строке файла (см. рис. 6.1) как элементы w_i вектора w квантилей показательного распределения для значений a_i вектора a (i = 0, n – 1). Для этого используется встроенная функция qexp(a_i, ).

Остальные вычисления носят вспомогательный характер и связаны с построением гистограммы относительных частот полученных случайных чисел у*, их сопоставлением с теоретической плотностью показательного распределения и графической иллюстрацией результатов.

С помощью встроенных функций ceil и floor определяются целые значения границ диапазона у*; этот диапазон разбивается на b = 20 промежутков шириной h каждый. При построении гистограммы используется встоенная функции histogram(b, w), которая выводит результат в виде двухстолбцовой матрицы f0 с числом строк, равным числу промежутков. Первый столбец матрицы f0 содержит середины точки каждого из промежутков; во втором столбце располагаются абсолютные частоты попаданий элементов вектора w в промежутки. После масштабирования второго столбца матрицы f0 гистограмма может сопоставляться со значениями теоретической плотности заданного распределения f_y(у), которая вычисляется (см. рис. 6.1) с помощью встроенной функции dexp.

Завершая краткое обсуждение проблемы генерации случайных чисел, отметим, что для ряда распределений применение формулы (6.3) позволяет получить аналитическое выражение для пересчета исходных случайных чисел с равномерным распределением на интервале (0, 1) в случайные числа с заданным законом распределения. К таким распределениям, допускающим аналитическое решение проблемы генерации, относится и рассмотренное в примере (см. рис. 6.1) показательное распределение. Действительно, для этого распределения на основании (6.3) и (5.26) можно записать:

х* = = 1– е^–λy*; ln (1 – х*) = – λy*; y* = – ln (1 – х*) / λ. (6.4)

Результаты рассмотренного выше (см. рис. 6.1) примера могут быть получены и с применением простого выражения (6.4), без использования численных методов решения уравнений (6.3).

Имитация возмущений в виде векторных случайных величин осуществляется с применением описанного подхода к каждому элементу случайного вектора.

В ряде задач имитации возмущений в виде с.в. могут задаваться выборочные числовые характеристики массивов у*. Процедуры получения выборок с заданными числовыми характеристиками при имитации скалярных и векторных случайных величин рассматриваются и иллюстрируются в п. 7.

При имитационном моделировании сложных систем возмущающие воздействия могут иметь характер случайных процессов. Предваряя обсуждение вопросов их имитации, рассмотрим реакции динамических систем на входное воздействие типа белого шума. Результаты анализа этих реакции послужат основанием имитации сл.пр.