5.4.1. Линейные преобразования векторных случайных процессов

Опираясь на подход, рассмотренный при анализе линейных форм векторных случайных величин (см. п. 5.2.5) получим аналогичные соотношения для линейных форм в. сл. пр.

Простейшей линейной формой случайных процессов служит их сумма. Пусть n-мерный в. сл. пр. X(t) (5.95) имеет вектор математических ожиданий m_x (t) и ковариационную матрицу P(t). Образуем, как и в п. 5.2.5, сумму Y(t) элементов X(t) с помощью вспомогательной n-мерной строки h с элементами, равными единице:

Y(t) = hX(t) = ; h = |1 1 1 … 1 1|.

Тогда, математическое ожидание Y(t) примет вид m_Y (t) = h m_x (t). Используя вектор центрированных сл. пр. = Х(t) – m_x (t) (5.97), выразим дисперсию Y(t) следующим образом:

D[Y(t)] = М[Y(t) – m_Y (t)]² = = hP(t)h^T , (5.99)

где P(t) ‑ ковариационная матрица (5.97) вектора X(t); надстрочный символ T обозначает операцию транспонирования.

Выражение (5.99) несложно получить, применяя искусственный прием, который состоит в замене квадрата скалярного процесса произведением и его транспонированного значения, т. е. используя формальное равенство = М{ [ ]^T}. Поскольку транспонирование скалярной величины (функции) не изменяет ее значения, т. е. = [ ]^T, такая замена справедлива всегда. Применяя указанный прием и учитывая, что = h , запишем

D[Y(t)] = = = hP(t)h^T.

Раскрывая полученное выражение, имеем:

D[Y(t)] = + 2 .

Здесь K_{X i j} (t, t) = P_{i j} (t) = P_{j i} (t) ‑ взаимная корреляционная функция для одинаковых значений аргументов, равных t.

Из этих соотношений следует, что дисперсия суммы некоррелированных сл. пр., равна сумме дисперсий слагаемых:

D[Y(t)] = ; K_{X i j} (t₁, t₂) = K_{X j i} (t₂, t₁) = 0. (5.100)

Выражения (5.99) легко обобщаются на случай, когда линейная форма образуется произвольными неслучайными матрицами H и B, размерность которых согласуется с размерностью векторов X(t) (5.95) и имеет вид

Z(t) = HX(t) + B Z(t).

Ковариационная матрица P_Z(t) результирующего вектора Z(t) выражается, аналогично (5.99), соотношением вида:

P_Z(t) = cov[Z(t)] = HP(t)H^T. (5.101)

5.5. Стационарные случайные процессы и их свойства

Класс стационарных случайных процессов (ст. сл. пр.) объединяет случайные процессы, которые обладают постоянством вероятностных свойств независимо от расположения интервалов наблюдения на оси изменения аргумента t. Определения ст. сл. пр. могут быть даны в узком (строгом) и широком (менее строгом) смыслах. Определение в узком смысле опирается на многомерный закон распределения случайного процесса (см. п. 5.3). Определение в широком смысле использует лишь числовые характеристики случайного процесса, ограничиваясь первыми двумя моментами распределения, и поэтому более приближено к практическому применению.

Пусть X(t) ‑ случайный процесс, сечения которого при t₁ , t₂ , …, t_k соответствуют случайным величинам Х(t₁), Х(t₂), …, Х(t_k).

Стационарным в узком смысле называют случайный процесс X(t), многомерный закон распределения которого для всех значений аргумента t не изменяется при их замене на t + τ (– ∞ < τ < ∞), т. е. при сдвиге t на произвольный отрезок τ.

Стационарным в широком смысле называют случайный процесс, математическое ожидание и дисперсия которого постоянны при всех значениях аргумента t, а корреляционная функция зависит только разности аргументов τ: Соответствующее условие стационарности имеет вид:

М[X(t)] = m_X; D[X(t)] = D_Х = ; K_X(t₁, t₂) = K_X(τ), τ = t₂ – t₁. (5.102)

Из определения стационарности случайных процессов в узком смысле следует определение стационарности в широком смысле. Обратное утверждение неверно.

Свойства числовых характеристик (5.102) ст. сл. пр. могут быть дополнены рядом свойств K_X(τ), которые следуют из общих соотношений (5.90)-(5.94) для корреляционных функций (5.89):

1. Четность: K_X(τ) = K_X(–τ).

2. Дисперсия ст. сл. пр. равна значению корреляционной функции K_X(τ) при τ = 0: K_X(0) = D_Х.

3. Модуль K_X(τ) не превышает значения дисперсии:

|K_X(τ)| ≤ D_Х.

4. Нормированная корреляционная функция K_X(τ) равна:

r_X(τ) = ; | r_X (τ)| ≤ 1.

Свойство стационарности, с некоторыми оговорками, распространяется и на в. сл. пр., числовые характеристики которых ‑ вектор математических ожиданий m_x (t) (5.96), ковариационная P(t) (5.97) и корреляционная K_x (t₁, t₂) (5.98) матрицы которых были рассмотрены в п. 5.4 для общего случая.

Так, было показано, что недиагональные (ij-ые) элементы корреляционной матрицы (5.98) в. сл. пр. — взаимные корреляционные функции.

K_{X i j} (t₁, t₂) = ,

В отличие от корреляционных функций, взаимные корреляционные функции ст. сл. пр., в общем случае, не являются функциями только разности аргументов τ. В случае, когда взаимная корреляционная функция K_{X i j} (t₁, t₂) двух случайных процессов X_i(t) и X_j(t) зависит только от τ = t₂ – t₁, сл. пр. X_i(t) и X_j(t) называют стационарно связанными. Их взаимная корреляционная функция

K_{X i j} (t₁, t₂) = K_{X i j} (t₂ – t₁) = K_{X i j}(τ). (5.103)

Если, каждый из сл. пр. X_i(t) и X_j(t) стационарен, а их взаимная корреляционная функция удовлетворяет выражению (5.103), процессы X_i(t) и X_j(t) называют стационарными и стационарно связанными.

Поэтому для векторных случайных процессов условие

m_x (t) = m_x ; P(t) = Р; K_x (t₁, t₂) = K_x (t₂,– t₁) = K_x (τ), (5.104)

означает стационарность и стационарную связанность совокупности сл. пр.

С понятием корреляционной функции ст. сл. пр. тесно связана еще одна важнейшая числовая характеристика — спектральная плотность, характеризующая гармонический состав ст. сл. пр. и позволяющая решать широкий спектр задач имитации случайных возмущений.

Спектральной плотностью ст. сл. пр. X(t) называют функцию , которая связана с корреляционной функцией K_X(τ) взаимно обратными преобразованиями Фурье:

= ; (5.105)

K_X(τ) = . (5.106)

Для действительного ст. сл. пр., на основании формул Эйлера, выражения (5.105) и (5.106) могут быть переписаны в виде, представляющем собой взаимно обратные косинус-преобразования Фурье:

; K_X(τ) = . (5.107)

Из этих определений следуют основные свойства :

_1.  .

_2.  = ,

_3.  = ; K_X(τ) = .

4. D_Х = = .

Последнее выражение позволяет заключить, что спектральная плотность описывает распределение дисперсий отдельных гармонических составляющих ст. сл. пр. по непрерывно изменяющейся частоте.

Рассмотрим пример. Пусть ст. сл. пр. X(t) имеет корреляционную функцию вида K_X(τ) = ^e^{– }, где α > 0. Требуется найти спектральные плотности X(t).

Для нахождения применим формулу (5.105). По определению абсолютной величины имеем:

| τ | = – τ, K_X(τ) = ^e ^, при τ < 0;

| τ | = τ, K_X(τ) = ^e^{– }, при τ ≥ 0.

Это обеспечивает возможность разбиения в (5.105) интеграла на сумму двух интегралов в пределах (–∞ , 0) и (0, ∞).

Результаты вычислений дают следующее выражение для :

S_X() = ; α > 0. (5.108)

На рис. 5.6 приведено решение примера в среде Mathcad и графики K_X(τ), S_X() для двух значений  при ² = 1. Выражение для S_X() получено символьными операторами, один из которых (assume) использован для указания диапазона определения параметра α.

В практике имитационного моделирования, анализа стохастических систем часто используются ст. сл. пр., спектральные плотности которых постоянны в определенном диапазоне частот. Такие процессы применяются для имитации случайных высокочастотных воздействий, при аппроксимации случайных процессов с медленно меняющимися спектральными плотностями в исследуемом диапазоне частот. Частоты вне рассматриваемого диапазона постоянства спектральной плотности при таком анализе обычно не представляют интереса. Подобные сл. пр. носят название белого шума.

Рис. 5.6. Решение примера в среде Mathcad

Пусть случайный процесс w(t) имеет постоянную спектральную плотность = S = const.

Тогда его корреляционная функция, на основании (5.106) имеет вид:

K_w(τ) = . (5.109)

В связи с полученным выражением вводят понятие дельта-функции (дельта-функции Дирака)

δ(τ) = . (5.110)

Тогда выражение (5.109) можно записать как:

K_w(τ) = 2πS δ(τ). (5.111)

Стационарный процесс с постоянной спектральной плотностью или, что то же, с корреляционной функцией вида (5.111), называют процессом типа белого шума (или просто — белым шумом). Свое название этот процесс получил по аналогии с частотным спектром белого света.

Множитель при дельта-функции в (5.111)

Q = 2πS (5.112)

называют интенсивностью белого шума.

Дельта-функция обладает свойством ставить в соответствие произвольной функции φ(t) ее значение при t = t₀:

= = φ(t₀); 0 < b < ∞, – ∞ < a < 0. (5.113)

В частном случае, при t₀ = 0, свойство дельта-функции (5.113) запишется следующим образом:

= φ(0). (5.114)

Правую часть (5.114) можно представить в форме:

= , ε > 0,

где (t) = (5.115)

Таким образом, вспомогательная функция имеет форму прямоугольного импульса с осью симметрии в точке t = 0, основанием 2ε и высотой 1/ 2ε. Площадь этого импульса равна единице:

= = 1. (5.116)

Дельта-функцию можно представить следующим предельным соотношением:

δ(τ) = = ; (t) = (5.117)

Здесь ‑ вспомогательная функция имеет форму прямоугольного импульса с осью симметрии в точке t = 0, основанием 2ε и высотой 1 / 2ε, т. е. единичной площадью. Выражения (5.115)-(5.117) дают также основание условно считать, что интеграл от дельта-функции в бесконечных пределах равен единице.

Белый шум, как следует из приведенных соотношений, представляет собой идеализацию случайных процессов. В природе таких случайных процессов нет. Действительно, вне точки t = 0 дельта-функция δ(τ) = 0. Это означает, что бесконечно близкие сечения случайной функции, представляющей белый шум, должны быть некоррелированными в силу равенства нулю K_w(τ) (8.64). Понятно, что реальные процессы не обладают подобным свойством и чем ближе рассматриваемые сечения друг к другу, тем больше оснований считать их коррелированными. Но введенная идеализация позволяет охарактеризовать свойства реальных сл. пр. на ограниченном диапазоне частот и широко используется при решении практических задач исследования случайных процессов,

Следует отметить, что понятие белого шума распространяется и на случайные последовательности. Так, если w_k ‑ стационарная случайная последовательность (k = 0, 1, 2, …i, …j, …) с некоррелированными элементами, то корреляционная функция этой последовательности равна

K_ij = = , (5.118)

где ‑ символ Кронекера, равный единице при i = j и нулю при i ≠ j.

Последовательность с корреляционной функцией вида (5.118) носит название стационарной случайной последовательности типа дискретного белого шума, или просто дискретным белым шумом. Множитель при символе Кронекера в (5.118) называют интенсивностью дискретного белого шума. Нетрудно убедиться в том, что  ‑ дисперсия стационарной последовательности w_k.

Заканчивая краткое описание свойств ст. сл. пр., отметим, что широкий круг задач исследования систем со случайными воздействиями использует векторные белые шумы. Вектор белых шумов является стационарным векторным случайным процессом, элементы которого — стационарные и стационарно связанные сл. пр. Корреляционная матрица векторного процесса w(t) типа белого шума, в силу (5.104), запишется следующим образом:

= K_w (t₁, t₂) = Q δ(τ), τ = t₂ – t₁, (5.119)

где δ(τ) ‑ дельта-функция (5.110), а постоянная матрица Q носит название матрицы интенсивностей.

Аналогично, для векторной последовательности типа векторного дискретного белого шума w_k (k = 0, 1, 2, …i, …j, …) корреляционная матрица выразится, согласно (5.118), как:

K_ij = = _ij, (5.120)

где _ij ‑ символ Кронекера, а постоянная матрица также носит название матрицы интенсивностей. Нетрудно заметить, что, в отличие от непрерывного векторного белого шума, матрица ‑ ковариационная матрица вектора w_k, содержащая дисперсии элементов вектора w_k на главной диагонали и корреляционные моменты вне диагонали.