5.3. Свойства скалярных случайных процессов

В общем случае количественные результаты натурных или компьютерных экспериментов над системами или их моделями не остаются постоянными в процессе их проведения, а меняются в зависимости от некоторого неслучайного аргумента. Подобные случаи характерны, например, при исследовании стохастических систем, переменные которых меняются во времени. Под стохастической системой (СС) понимают динамическую систему, внутренние свойства которой, возмущающие воздействия и/или возмущающие факторы имеют вероятностную природу.

Общая постановка задач анализа СС заключается в следующем: дана совокупность воздействий на систему (входные сигналы, возмущения и проч.), а также математическая модель (например, дифференциальные или разностные уравнения) системы. Требуется получить характеристики выходных переменных системы. Понятие «дано» включает также задание числа, вида и параметров дифференциальных уравнений, законов распределений, их числовых характеристик для каждого фактора; и проч. Решение задач анализа СС обычно связано с интегрированием дифференциальных уравнений математической модели при заданных параметрах и случайных воздействиях. При этом понятно, что даже в случае, когда входными воздействиями служат случайные величины, выходные переменные СС будут функциями некоторого аргумента, например, времени.

Результат каждого эксперимента с СС выражается в виде множества чисел в зависимости от значения аргумента t. Пусть, для простоты, исследуется скалярная выходная характеристика СС. Результатом анализа в конкретном испытании для фиксированного значения аргумента t будет число. Это число заранее неизвестно, предсказать его невозможно, поскольку его значение зависит от множества случайных причин, полный учет которых заранее принципиально невозможен. Для множества испытаний той же переменной при том же значении аргумента t получим совокупность подобных чисел. Поэтому при фиксированном значении аргумента t результат серии испытаний выражается случайной величиной. Для всей области определения аргумента в этой связи вводится понятие случайной функции.

Случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента t, значением которой при фиксированном t служит случайная величина. Эту случайную величину называют сечением случайной функции.

В результате одиночного испытания может быть получена так называемая реализация случайной функции.

На рис 5.5 приведены две реализации одной и той же случайной функции, полученные в среде Mathcad.

Рис. 5.5. Реализации случайной функции

С определением случайной функции тесно связаны такие понятия, как случайный процесс и случайная последовательность.

Случайным процессом называют случайную функцию аргумента t, в качестве которого выступает время. Случайная последовательность образуется значениями случайной функции при дискретном изменении аргумента. Далее в качестве аргумента будем рассматривать время, т. е. в последующем материале, без ущерба для общности, будут обсуждаться случайные процессы.

Как и случайные величины, случайные процессы и последовательности) могут быть как скалярными, так и векторными.

Скалярные случайные процессы (сл. пр.) будут далее обозначаться прописными символами с указанием аргумента, например, X(t), Y(t), Z(t), а их реализации — строчными: x(t), y(t), z(t).

Несмотря на то, что сечениями сл. пр. служат случайные величины со своими законами распределения, практически невозможно представить закон распределения сл. пр. как обобщение законов распределения отдельных сечений. Действительно, одно отдельное сечение сл. пр. может быть исчерпывающе охарактеризовано одномерным законом распределения, два ее сечения (двумерный случайный вектор) — двумерным законом распределения. В пределе число значений аргументов сл.пр. бесконечно, поэтому сл.пр. можно рассматривать как бесконечномерный случайный вектор с соответствующим бесконечномерным законом распределения. Учитывая отмеченную «бесконечномерность» сл. пр., при решении прикладных задач обычно ограничиваются лишь рассмотрением его числовых характеристик.

Числовые характеристики сл. пр., как и случайных величин, неслучайны. Поскольку случайные величины характеризуют сечения сл. пр., то для последних также имеют большое значение такие числовые характеристики, как математическое ожидание, дисперсия и вся совокупность начальных и центральных моментов высшего порядка. Однако наличие аргументов сл.пр. вносит ряд особенностей, связанных с характеристикой взаимосвязи, взаимозависимости отдельных его сечений. Такую возможность обеспечивает понятие корреляционной функции. Дадим определение числовых характеристик сл. пр.

Математическим ожиданием сл. пр. X(t) называется неслучайная функция аргумента t, значение которой при фиксированном значении t* равно математическому ожиданию случайной величины X(t*).

Таким образом, математическое ожидание сл.пр. X(t) образуется совокупностью математических ожиданий его сечений.

Математическое ожидание X(t) обозначим как

m_X(t) = М[X(t)]. (5.84)

Свойства m_X(t), рассмотренные ранее применительно к случайным величинам, для сл. пр. обобщаются следующими выражениями:

1) М[c(t)] = c(t);

2) М[c(t)X(t)] = c(t)М[X(t)];

3) М[c(t)X(t) + b(t)] = c(t)М[X(t)] + b(t); (5.85)

4) М[Х₁(t) + Х₂(t)] = М[Х₁(t) + МХ₂(t)].

В приведенных выражениях с(t), b(t) ‑ неслучайные функции.

Под дисперсией сл. пр. X(t) понимают неслучайную функцию аргумента t, значение которой при фиксированном значении аргумента t* равно дисперсии случайной величины X(t*).

Из этого определения следует, что дисперсию X(t) можно рассматривать в качестве меры разброса реализаций сл. пр. относительно ее М[X(t)].

Обозначая дисперсию X(t) через D[X(t)], имеем:

D[X(t)] = М[Х(t) – m_X(t)]² = , (5.86)

где = Х(t) – m_X(t) ‑ центрированный сл. пр.

Другими распространенными обозначениями служат

D[X(t)] = = D_x(t) = , _X(t) = , (5.87)

где _X(t) ‑ среднее квадратическое отклонение (стандарт отклонения).

Дисперсия сл. пр. обладает свойствами, которые обобщают рассмотренные ранее свойства дисперсий случайных величин. Эти свойства могут быть представлены следующими выражениями:

1) D[c(t)] = 0;

2) D[c(t)X(t)] = c²(t)D[X(t)]; (5.88)

3) М[c(t)X(t) + b(t)] = c²(t)D[X(t)];

4) D[X(t)] = М[Х(t)]² – [m_X(t)]².

Здесь с(t), b(t) ‑ неслучайные функции. Еще одно свойство дисперсии, касающееся дисперсии суммы случайных функций, будет рассмотрено в п. 5.4, при анализе векторных случайных процессов.

Свойства (5.88) легко доказываются на основе определения (5.86) и свойств математических ожиданий (5.85).

Еще одной числовой характеристикой сл. пр. является корреляционная функция, определяющая взаимозависимость двух сечений X(t₁) и X(t₂) скалярного случайного процесса X(t).

Корреляционной (автокорреляционной) функцией K_X(t₁, t₂) сл.пр. X(t) называется математическое ожидание от произведения значений центрированного сл.пр. в точках t₁ и t₂:

K_X(t₁, t₂) = . (5.89)

Из этого определения следует, что корреляционная функция ‑ это функция двух аргументов t₁ и t₂, численно равная корреляционному моменту (5.66) соответствующих сечений случайной функции X(t).

Корреляционные функции обладают следующими основными свойствами:

K_X (t₁, t₂) = K_X (t₂, t₁); (5.90)

K_X (t, t) = D[X(t)]; (5.91)

Корреляционная функция Y(t) = c(t)X(t) + b(t), где с(t), b(t) ‑ неслучайные функции, а X(t) имеет корреляционную функцию K_X (t₁, t₂), равна:

K_Y(t₁, t₂) = c(t₁) c(t₂) K_X (t₁, t₂); (5.92)

K_X (t₁, t₂)| ≤ ; (5.93)

Нормированная корреляционная функция равна:

r_X(t₁, t₂) = ; | r_X (t₁, t₂)| ≤ 1. (5.94)

Ограничимся здесь лишь краткими комментариями к приведенным соотношениям, учитывая их достаточную очевидность.

Свойство (5.90) отражает симметричность корреляционной функции и следует из того, что математическое ожидание произведения (5.89) не зависит от порядка следования скалярных сомножителей. Свойство (5.91) устанавливает очевидное равенство между дисперсией и корреляционной функцией, аргументы которой одинаковы. Третье свойство опирается на равенство Y⁰(t) = c(t)X⁰(t) и свойства (см. выражения (5.85), п. 2) математических ожиданий сл.пр., согласно которому неслучайные сомножители могут быть вынесены за пределы оператора математического ожидания. Свойства (5.93) и (5.94) аналогичны свойству корреляционного момента и коэффициента корреляции случайных величин.