5.2.5. Линейные преобразования векторных случайных величин

В прикладных задачах анализа свойств в. с. в. часто приходится вычислять дисперсии и корреляционные моменты (коэффициенты корреляции) линейных форм случайного вектора. Математические ожидания линейных форм могут быть определены на основе свойств (5.73)-(5.76). Получим выражение для ковариационной матрицы линейной формы случайного вектора Х, которое позволит рассмотреть частные случаи, важные с практической точки зрения.

Пусть (m  1)-вектор Y связан с n-мерным случайным вектором Х линейным соотношением вида:

Y = AX + b, (5.79)

где: b ‑ (m  1)-неслучайный вектор, A ‑ (m  n)-неслучайная матрица.

Пусть также заданы ковариационная матрица cov(Х) = Р (5.64)и математическое ожидание m_X вектора Х. Требуется определить P_Y = cov(Y).

По определению (5.64), ковариационная матрица для вектора Y равна:

.

В силу свойств (5.73)—(5.76), вектор m_Y математических ожиданий для вектора Y и центрированный вектор Y⁰ удовлетворяют соотношениям: m_Y = A m_X + b; Y⁰ = AX⁰, поэтому искомая ковариационная матрица P_Y равна:

. (5.80)

Заметим, что полученный результат не зависит от неслучайного вектора b, поэтому соотношение (5.80) остается в силе для произвольного вектора b, в том числе ‑ нулевого.

Выражение (5.80) имеет характерную симметричную структуру, которая отражает связь симметричной ковариационной матрицы с произведением случайного вектора и неслучайной матрицы. Это простое выражение позволяет, тем не менее, решать множество практических задач по определению вторых центральных моментов вектора, который линейно связан с исходным случайным вектором. Так, в случае, когда m = 1, матрица A превращается в строку. Если элементами этой строки служат единицы, то выражение (5.80) удобно использовать для получения общего выражения дисперсии суммы случайных величин (элементов случайного вектора X). Так, обозначая сумму элементов вектора X через z, выразим ее в форме произведения векторов:

.

Пусть, как и ранее, ковариационная матрица cov(Х) = Р задана. Тогда дисперсия суммы z случайных величин, составляющих вектор Х, на основании (5.80), будет равна:

. (5.81)

Поскольку матрица Р содержит данные о степени взаимосвязи отдельных случайных величин Х_i между собой, выражение (5.81) позволяет определять дисперсии суммы Х_i при любой степени связи последних. Так, при независимости (а, следовательно, некоррелированности) составляющих X_i и X_j ( , ) вектора Х (К_ij = 0) ковариационная матрица Р ‑ диагональная и выражение (5.81) дает известную формулу сложения дисперсий:

; (К_ij = 0). (5.82)

При К_ij ≠ 0 из (5.81) следует:

; (К_ij ≠ 0). (5.83)

Простота формулы (5.80) для получения ковариационной матрицы линейной формы вектора Х определяет ее широкое ее использование в практике анализа числовых характеристик в.с.в. Выражение (5.80) резко упрощает решение таких задач, как определение дисперсий и корреляционных моментов (коэффициентов корреляции) произвольных линейных соотношений случайных величин, дисперсий прогноза. Область применения формулы (5.80), как будет показано, легко распространяется на случайные процессы, позволяя анализировать динамику дисперсий и корреляционных моментов линейных комбинаций элементов векторов состояний стохастических систем.