5.2.3. Непрерывные векторные случайные величины

Непрерывным случайным вектором называют вектор, элементы которого (j = ) ‑ непрерывные случайные величины.

Как и в скалярном случае, задание непрерывной векторной случайной величины осуществляется как функцией распределения, так и плотностью вероятностей, которая в этом случае (n > 1) становится многомерной.

Пусть непрерывный (n  1)-вектор Х имеет функцию распределения F_Х(х) (5.33), которая также непрерывна и имеет непрерывные частные производные n-го порядка.

Плотностью распределения в. с. в. (5.31) называют смешанную частную производную n-го порядка от n-мерной функции распределения F(х) (5.33) по всем элементам случайного вектора:

f_Х(х) = (x₁, x₂ , . . . , x_n) = . (5.42)

Плотность распределения скалярной случайной величины геометрически соответствовала плоской кривой (см., например, рис. 5.1). Многомерную плотность распределения (5.42) как функцию n аргументов, можно представить поверхностью в n-мерном пространстве. В дальнейшем мы достаточно часто будем обращаться к одномерному распределению как к частному случаю многомерного распределения, подчеркивая формальную аналогию ряда параметров и определений, характерных для скалярной и векторной случайной величины. Так, аналогией (5.42) для скалярной случайной величины служит выражение (5.15). Функция распределения для скалярной случайной величины и ее плотность вероятностей связаны соотношением (5.8).

В многомерном случае функция распределения (5.33) и плотность распределения (5.42) связаны соотношением вида:

F_Х(х) = (x₁, x₂ , . . . , x_n) = . (5.43)

В силу ранее данного определения многомерной функции распределения выражение (5.43) определяет вероятность попадания случайной точки в некоторый n-мерный объем. Используя примененный ранее прием, обратимся к двумерному непрерывному случайному вектору и рассмотрим свойства его распределения. Ряд из них обобщим на многомерный случай.

Двумерная плотность вероятности, согласно (5.42), равна:

(x₁, x₂) = . (5.44)

Аналогично элементу вероятности, введенному ранее для случая скалярной случайной величины, который определяет вероятность попадания случайной величины на участок dx, прилегающий к точке x, введем понятие элемента вероятности для двумерного случайного вектора.

Пусть (х₁, х₂) ‑ случайная точка с координатами x₁ и x₂, а dx₁ и dx₂ ‑ элементарные отклонения. Тогда, элементом вероятности в рассматриваемом случае (n = 2) будем называть произведение

(x₁, x₂)dx₁dx₂, (5.45)

которое соответствует вероятности попадания случайной точки в элементарный прямоугольник dx₁dx₂ .

В рассматриваемом двумерном случае элемент вероятности (5.45) численно равен объему параллелепипеда, опирающегося на элементарный прямоугольник dx₁dx₂ и ограниченный сверху поверхностью (x₁, x₂). Суммируя (интегрируя) элементы вероятностей (5.45) по некоторой произвольной области S, можно получить вероятность попадания случайной точки в эту область:

. (5.46)

Формула (5.46) справедлива для произвольной области S.

Воспользуемся формулой (5.46) для получения двумерной функции распределения (x₁, x₂).

Как отмечалось, функция (x₁, x₂) есть вероятность попадания в бесконечный квадрант, ограниченный справа и сверху значениями x₁ и x₂. Поэтому функция распределения (x₁, x₂), согласно (5.43), равна

. (5.47)

Выражение (5.47), связывающее функцию распределения с плотностью вероятности двумерного случайного вектора, представляет частный случай соотношения (5.43). Соотношения (5.42)-(5.47) позволяют установить свойства многомерной плотности распределения вероятностей.

Для рассматриваемого двумерного случая к свойствам (5.44), (5.47), (5.46) можно добавить еще несколько очевидных соотношений:

(х₁, х₂) ≥ 0; (5.48)

; (5.49)

. (5.50)

Свойство (5.48) неотрицательности двумерной плотности ‑ следствие свойства(5.36), функция распределения (x₁, x₂), согласно которому (x₁, x₂) ‑ неубывающая функция своих аргументов. Аналогичное свойство справедливо для произвольной размерности (n > 2) случайного вектора:

(x₁, x₂,… , x_n) dx₁ . . . dx_n ≥ 0. (5.51)

Выражение (5.49) определяет вероятность попадания случайной точки в неограниченную область, т. е. ‑ вероятность достоверного события, равная единице. Это свойство справедливо для случайного вектора (5.21) произвольной размерности:

. (5.52)

Выражение (5.52) приведено в предположении, что области определения составляющих случайного вектора бесконечны. Как и ранее, в частных случаях, когда области определения элементов случайного вектора конечны, кратный интеграл по всей ограниченной области определения (x₁, x₂, …, x_n) также будет равен единице как вероятность достоверного события.

Свойства (5.50) позволяют однократным интегрированием двумерной плотности вероятностей по одному из ее аргументов в бесконечных пределах получить одномерную плотность вероятности другого аргумента. Эти свойства следуют из рассмотренных ранее свойств (5.38) функций распределения двумерного вектора.

Действительно, поскольку, в силу (5.47), , то функцию распределения F(x₁) первого элемента вектора (5.21) можно выразить с использованием выражения F(x₁) = F(x₁, ∞) как

. (5.53)

Но функция распределения F(x₁) первого элемента вектора (5.21) равна , поэтому из (5.53) следует:

. (5.54)

Аналогично можно доказать для (x₂) свойства (5.50).

При задании некоторой замкнутой области определения составляющих случайного вектора бесконечные пределы в выражениях (5.50) заменяются границами диапазона изменения их значений. Так, например, при задании двумерной плотности распределения в области b ≤ x₁ ≤ a; d ≤ x₂ ≤ c (вне этой области, плотность распределения предполагается равной нулю) выражения (7.30) примут вид:

; . (5.55)

Свойства (5.48)-(5.55), рассмотренные для двумерного случайного вектора, распространяются и на общий случай n > 2. Так, однократное интегрирование n-мерной плотности распределения по одному из аргументов в диапазоне его определения дает в результате (n – 1)-мерную плотность распределения остальных составляющих n-мерного случайного вектора:

. (5.56)

Таким образом, для получения одномерной плотности распределения какой-либо составляющей в многомерном случае необходимо осуществить (n – 1)-кратное интегрирование n-мерной плотности по всем остальным составляющим в пределах их определения.

Например:

. (5.57)

Из изложенного следует, что, в общем случае каждое однократное интегрирование многомерной плотности распределения по одной из составляющей n-мерного вектора в пределах ее определения снижает «мерность» плотности на единицу.

Как и в для скалярных случайных величин, существует множество прикладных задач анализа свойств многомерных распределений, в которых в. с. в. достаточно представлять упрощенно, их числовыми характеристиками. Кратко рассмотрим особенности числовых характеристик в. с. в., опираясь на материал [3].