5.2.2. Функция распределения векторных случайных величин
Рассмотрим векторную случайную величину,
Х = | X1, X2 , . . ., Xn |T, (5.31)
образованную
случайными величинами Xj
(j
=
),
которые в общем случае имеют неограниченный
диапазон возможных значений хj.
Функцией распределения векторной случайной величины X называется вероятность совместного появления событий (Х1 < x1), (Х2 < x2), …, (Хn < xn), т. е. вероятность сложного события
Θ = [(Х1 < x1) (Х2 < x2)…(Хn < xn)], (5.32)
где хj, (j = ) ‑ значения случайных величин, в общем случае переменные.
Функция распределения в. с. в. (5.31), в силу данного определения, равна:
FХ(х)
=
(x1,
x2
, . . . , xn)
= P[(Х1
< x1)…
(Хn
<
xn)]=P(Θ).
(5.33)
Учитывая сложность интерпретации многомерной функции распределения, далее, по мере необходимости, будем обращаться к двумерному распределению, обобщая получаемые результаты на многомерный случай.
Для случая n = 2 функция распределения (7.13) записывается как
(x1,
x2)
= P[(X1
< x1)
(X2
< x2)].
(5.34)
Геометрически
(x1,
x2)
(5.34) означает вероятность попадания
случайной точки с координатами
в бесконечный квадрант (рис. 5.4) на
плоскости
,
расположенный ниже и левее вершины с
координатами (х1,
х2).
Существенно то, что указанный квадрант
не включает правые граничные значения
составляющих вектора (5.31).
Рис. 5.4. Геометрическая интерпретация двумерной функции распределения
Функция распределения векторной случайной величины имеет ряд свойств, обобщающих ранее рассмотренные свойства одномерной функции распределения. Приведем свойства функции распределения векторной случайной величины для случая n = 2:
1. Значения (x1, x2) удовлетворяет двойному неравенству:
0 (x1, x2) 1. (5.35)
Выражение (5.35) следует из определения функции распределения как вероятности.
2. Функция распределения (x1, x2) ‑ неубывающая функция каждого из аргументов:
при a > x1, (a, x2) (x1, x2); при b > x2, (x1, b) (x1, x2); при a > x1; b > x2, (a, b) (x1, x2). |
|
(5.36) |
Доказательства выражений (5.36) очевидны, если обратиться к геометрической интерпретацией функции распределения (см. рис. 5.4).
3. Имеют место следующие предельные соотношения:
(–∞, x2) = (x1, –∞) = (–∞,–∞) = 0; (5.37)
;
(5.38)
(∞, ∞) = 1. (5.39)
Выражение (5.37) утверждает, что если хоть один из аргументов стремится к (–∞), то функция распределения (x1, x2) равна 0. Убедиться в справедливости этого свойства функции распределения можно, рассмотрев ее геометрическую интерпретацию и опираясь на определение (5.33).
Поскольку событие (Х1 < –∞) ‑ невозможное, то невозможным будет и пересечение событий (Х1 < –∞) и (Х2 < х2). Вероятность невозможного события равна нулю, поэтому (– ∞, x2) = 0. Аналогично доказываются и другие составляющие равенства (5.37).
Выражение (5.38)
свидетельствует о том, что если хотя бы
один из аргументов
(x1,
x2)
стремится к бесконечности, то в
результате получаем одномерную функцию
распределения другого аргумента.
Действительно, поскольку событие,
например, (Х1
< ∞) ‑ достоверное, то пересечение
(совместное наступление) событий (Х1 < ∞)
и (Х2 < х2)
есть событие (Х2 < х2),
поэтому
.
Пересечение двух достоверных событий дает также достоверное событие, вероятность появления которого равна единице, что подтверждает справедливость свойства (5.39).
Рассмотренные свойства (5.35)-(5.39) обобщаются на случай n > 2. При этом свойства (5.35)-(5.37), (5.39) остаются справедливыми для многомерных функций распределения, а свойства (5.38) формулируются так.
При равенстве бесконечности одного из аргументов многомерной функции (n > 2) распределения «мерность» распределения уменьшается на единицу. Так, например, для n = 3:
(х1,
х2,
∞) =
(х1,
х2);
(х1,
∞, х3)
=
(х1,
х3).(5.40)
В более общей трактовке можно сказать, что размерность функции распределения понижается на число ее аргументов, равных бесконечности:
(х1,
∞, ∞) =
(х1);
(∞,
х2,
∞) =
(х2).
(5.41)
Аналогично скалярной случайной величине, функция распределения которой служит исчерпывающей характеристикой, n-мерная функция распределения FХ(х) также максимально полно характеризует случайный вектор.
С использованием понятия функции распределения векторной случайной величины могут быть решены многие прикладные задачи анализа многомерных распределений.