5.2. Векторные случайные величины
При решении задач вероятностного анализа, весьма распространен случай, когда необходимо проанализировать несколько случайных величин совместно. При этом принято говорить о системе случайных величин или, используя представление точки в n-мерном пространстве как вектора значений ее отдельных координат, говорят о случайном векторе или векторной случайной величине (в.с.в.).
Понятие векторной случайной величины используется при исследовании нескольких случайных величин совместно по результатам испытаний, при анализе свойств нескольких параметров изучаемой технической системы, анализе состояний в стохастических системах ‑ динамических системах со случайными воздействиями и т. д.
В любом из подобных случаев исходам испытаний может быть поставлена в соответствие система случайных величин Х1, Х2, ..., Хj , ..., Хn или n-мерный случайный вектор
Х = | Х1, Х2, ..., Хj, ..., Хn |T, (5.21)
где надстрочный индекс Т обозначает операцию транспонирования.
Случайный вектор (5.21) в качестве своих составляющих (координат, элементов) содержит случайные величины Xj (j = 1, 2, …, n), которые с вероятностной точки зрения должны рассматриваться вместе, в совокупности. Каждая из случайных величин, входящих в случайный вектор (5.21), имеет свои локальные свойства, в частности ‑ числовые характеристики, рассмотренные ранее. Однако анализ системы случайных величин Xj требует введения некоторых новых понятий и числовых характеристик,
В задачах анализа систем различных классов случайные векторы часто используют для представления (имитации) погрешностей измерений, наблюдений, съема данных, элементов вектора состояний стохастических систем и проч.
Так же, как для скалярных случайных величин, в.с.в. подразделяются на дискретные и непрерывные.
5.2.1. Дискретные случайные векторы
Дискретным случайным вектором (дискретной векторной случайной величиной) будем называть такую векторную случайную величину (5.21), составляющие которой ‑ дискретные случайные величины.
Пусть случайный
вектор Х
содержит
два элемента
и
,
т. е.:
.
Значения каждого из элементов такого
случайного вектора определим множествами:
;
.
(5.22)
Число возможных
значений пар элементов рассматриваемого
двумерного вектора определяется
произведением (
).
Для элементов такого вектора Х
должны быть заданы
‑ вероятности событий, состоящих в
том, что элементами вектора Х
служат:
для первой составляющей и
для второй:
;
i1
= (
),
i2
= (
).
(5.23)
Закон распределения двумерного дискретного случайного вектора удобно представлять в виде таблицы, в которую по горизонтали записываются возможные значения первого элемента (5.22), по вертикали ‑ второго элемента, а в теле таблицы указываются вероятности p(i1,i2) (5.23). Вариант задания двумерного дискретного случайного вектора приведён в табл. 5.1.
Эта таблица обладает рядом свойств.
Свойство 1.
Сумма всех значений вероятностей,
расположенных в теле табл. 5.1,
равна единице. Это следует из того, что
события, означающие совместное выполнение
равенств (
,
),
i1
= (
),
i2
= (
),
несовместны и составляют полную группу.
Таким образом
.
(5.24)
Свойство 2. Из двумерного закона распределения могут быть найдены законы распределения вероятностей отдельных составляющих.
Таблица 5.1