5.1.2. Непрерывные случайные величины

Случайная величина Х называется непрерывной, если существует такая неотрицательная интегрируемая на всей числовой оси функция f(x)  0, называемая плотностью распределения вероятностей, интеграл от которой в пределах от a до b определяет вероятность попадания значений н. с. в. Х в произвольный промежуток (a, b)

P[Х  (a, b)] = Р(a < Х < b) = . (5.6)

Здесь следует отметить, что в выражении (5.6) равноправно могут использоваться знаки неравенства, сопровождаемые знаками равенства или нет. Поэтому вероятности

Р(a < Х < b) = Р(a  Х < b) = Р(a < Х  b) = Р(a  Х  b). (5.7)

Это объясняется тем, что вероятность попадания значений н. с. в. в точку a или b равна нулю, что легко показать, уменьшая в (5.6) длину отрезка [a, b] в пределе до нуля.

Как было отмечено выше, плотность вероятности н. с. в. ‑ неотрицательная функция, т. е. f(x)  0. Кроме того, в силу достоверности события, заключающегося в том, что н.с.в. принадлежит (– ∞, + ∞), имеем:

. (5.8)

Из выражения (5.6) следует, что вероятность принадлежности н. с. в. Х промежутку [a, b] численно равна площади криволинейной трапеции под кривой f(x) в пределах этого промежутка. Эта площадь в бесконечных пределах изменения Х, согласно (5.8), равна единице.

Можно также утверждать, что, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, величина определяет вероятность попадания значений н. с. в. Х на элементарный отрезок , примыкающий к точке х. Величина носит название элемента вероятности.

Аналогичную геометрическую интерпретацию имеет и функция распределения F(x) н. с. в. Х, т. е. вероятность того, что н. с. в. Х не превышает некоторого наперед заданного значения х. Эта вероятность численно равна площади криволинейной трапеции под кривой f(x) при (– ∞ < Х < x), т. е.

F(x) = Р(Х < x) = Р(– ∞ < Х < x) = . (5.9)

Функции распределения F(x) (5.9) обладает следующими основными свойствами:

1. 0  F(x)  1. (5.10)

2. F(– ∞) = = 0; F(∞) = = 1. (5.11)

3. Р(Х ≥ x) = – = 1 – F(x). (5.12)

4. F(b) ≥ F(a) при b > a. (5.13)

5. Р(a < x < b) = F(b) – F(a) = . (5.14)

6. Если a < Х < b , где a, b ‑ заданные числа, то

F(x) = 0 при х < a; F(x) = 1 при x > b. (5.15)

7. dF(x)/dx = f(x) во всех точках непрерывности плотности f(x). (5.16)

Доказательства свойств (5.10)-(5.16) следуют из определений F(x), f(x).

На рис. 5.1, а приведен типовой вид плотности (промасштабирована для наглядности) и функции распределения, обозначенных f(x) и F(x).

Рис. 5.1, а. Вид плотности и функции распределения

На рис. 5.1, б приведены кривые плотности распределения и дана геометрическая интерпретация свойств (5.9) и (5.14) функции распределения.

Рис. 5.1, б. Геометрическая интерпретация свойств (5.9) и (5.14)

Площади А на левом и правом рис. 5.1, б представляют функцию распределения F(x₀) и вероятность попадания значений случайной величины в интервал (x₀, x₁) соответственно; последняя вероятность равна разности [F(x₁) – F(x₀)].

Незатушеванная площадь на левом рис. 5.1, б равна 1 – А = 1 – F(x₀). Сумма незатушеванных площадей на правом рис. 5.1, б равна

1 – А = F(x₀) + [1 – F(x₁)].

Плотность и функция распределения н.с.в. служат исчерпывающими характеристиками этого класса случайных величин. Так, задание f(x) или F(x) полностью определяет свойства н. с. в. Х.

Однако, как и для д. с. в., существует множество прикладных задач вероятностного анализа н. с. в., в которых достаточно использовать лишь отдельные параметры законов распределения, выраженные в числовой форме, т. е. числовые характеристики. Множество числовых характеристики н. с. в. может быть получено с использованием начальных и центральных моментов распределения, которые, как и все числовые характеристики случайных величин, не являются случайными.

Начальный момент k-го порядка непрерывной случайной величины:

_k = ; (5.17)

Центральный момент k-го порядка н.с.в. определяется выражением:

μ_k = . (5.18)

Наиболее часто при решении прикладных задач анализа н. с. в. используются начальный момент первого порядка (математическое ожидание) и центральный момент второго порядка (дисперсия), которые для н. с. в. соответственно равны:

₁ = М(Х) = m_x = ; μ₂ = D(Х) = σ²(Х) = .(5.19)

Так же, как и для д. с. в., моменты распределения функций одного случайного аргумента (н. с. в.) могут определяться выражениями, в которых можно использовать плотности распределения этих функций. Эта возможность обсуждается ниже.

Отменим здесь, что при решении прикладных задач моделирования и сопоставительного анализа СС широко используется безразмерный коэффициент вариации, численное значение которого равно отношению среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

k_x = _x / m_x

Кроме упомянутых числовых характеристик, при обработке результатов статистического моделировании достаточно часто используется также и квантили распределений.

Квантилью порядка р называется такое значение х_р случайной величины, для которой

Р(Х < x_р) = F(x_р) = р. (5.20)

Применительно к рис. 5.1, б (слева) квантиль x₀ соответствует F(x₀), т. е. затушеванной площади А ‑ вероятности нахождения случайной величины в диапазоне (0, x₀).

Квантили разделяются на следующие группы:

‑ квартили x_0.25, x_0.5, x_0.75; делят область определения случайной величины на четыре отрезка, вероятность попадания в каждый из которых одинакова и равна ¼. Квартиль x_0.5 (делит площадь пополам) носит название медианы. Вероятности попадания значений н. с. в. в области слева и справа от x_0.5 равны между собой и имеют значения 0,5:

Р(Х < x_0.5) = Р(Х > x_0.5) = 0,5;

‑ децили x_0.1, x_0.2, …, x_0.9 ‑ делят область определения случайной величины на десять отрезков, вероятность попадания в каждый из которых одинакова и равна 1/10;

‑ процентили x_0.01, x_0.02, …, x_0.99 ‑ делят область определения случайной величины на сто отрезков, вероятность попадания в каждый из которых одинакова и равна 1/100.

Квантили широко используются в практике статистического моделирования, при решении задач генерации (см. разд. 6.1) случайных чисел с заданными законами распределения, при проверке гипотез, при формировании интервальных оценок и т. д. [3]. Математически задача вычисления квантиля н. с. в. состоит в определении такого верхнего предела интегрирования в выражениях типа (5.9), который соответствует заданному значению функции распределения.

Значения квантилей для различных законов распределений можно найти в специальных таблицах. В то же время проблема вычисления квантилей резко упрощается применением систем компьютерной математики (СКМ). Так, в среде Mathcad для этих целей имеется широкий набор встроенных функций, имя которых имеет начальный символ q, а последующее поле содержит код закона распределения.

При вычислении квантилей специальных распределений, которые не предусмотрены в СКМ, значения квантилей можно определить путем прямого решения уравнений (5.20) с применением вычислительных блоков. Пример подобного решения приведен ниже на рис. 5.2, на котором изображены два характерных типа плотностей распределения: унимодальная f(x) и двумодальная f1(x) плотности, полученные в Mathcad комбинацией двух плотностей нормального распределения (с использованием встроенных функций dnorm). Непосредственной проверкой f(x) и f1(x) можно убедиться в выполнении для них основного свойства плотностей вероятностей (5.8).

Вероятность P(a, b) попадания в интервал [a, b] значений случайной величины первого распределения введена как функция пользователя, которая позволяет вычислять соответствующие вероятности, задавая лишь границы диапазона. Это использовано на рис. 5.2 для определения медианы (п. 1) и квартилей (п. 3) первого распределения. Для плотности f(x) медиана x_0.5 = 5,8; нижний и верхний квартили равны: x_0.25 = 4,59, x_0.75 = 8.

Рис. 5.2. Вычисление квантилей

В п. 2 рис. 5.2 значение медианы определено путем решения соответствующего уравнения в рамках вычислительного блока (ключевые слова given и find служат границами этого блока). Предварительно задается нулевое приближение искомой величины (на рис. 5.2 обозначена q). Знак равенства в уравнении вычислительных блоков ‑ оператор соответствия, который вызывается клавишами (< Ctrl > + <=>). Аналогично можно находить квантили и других распределений.

В п. 4 определяются математические ожидания случайных величин двух распределений: М(Х) = 6,35; М(Х1) = 5,5.

Свойства наиболее часто используемых распределений скалярных случайных величин достаточно подробно рассматриваются в Приложении 1.