5. Характеристики случайных возмущений

Существенным достоинством имитационного моделирования служит возможность учета в ИМ факторов и возмущений вероятностной природы, заранее непредсказуемых и определенных лишь с точностью до диапазона. В качестве таких возмущений при создании конкретных ИМ могут выступать скалярные и векторные случайные величины и случайные процессы. Кроме того, возмущениями, оказывающими влияние на поведение исследуемой системы, могут быть вероятностные переходы состояний ИМ, имитация которых неоднозначна и требует особого внимания. Все случайные возмущения имеют характеристики, особенности и свойства, базирующиеся на элементах теории вероятностей и математической статистики.

Ниже кратко описываются основные свойства случайных величин и процессов, выступающих в качестве случайных возмущений и факторов при имитационном моделировании.

5.1. Скалярные случайные величины

Случайной называют величину Х, которая в результате испытания (Опыта, эксперимента) принимает одно значение, априорно (до опыта) неизвестное и зависящее от некоторой совокупности случайных причин, полный учет которых заранее невозможен. Случайные величины принято обозначать прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения ‑ соответствующими строчными: x, y, z.

Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, носит название закона распределения случайной величины.

Закон распределения случайной величины задается функцией распределения ‑ важнейшей характеристикой случайной величины.

Функцией распределения случайной величины Х называется такая функция F(x), определенная для х  (– ∞, + ∞), значение которой в точке х равно вероятности события (X < x): F(x) = Р(X < x), х (– ∞, + ∞).

При решении прикладных задач анализа случайных величин широко используются их числовые характеристики (например, математическое ожидание, дисперсия), совокупность которых объединяются теоретическими моментами распределений и не являются случайными.

5.1.1. Дискретные случайные величины

Дискретной называется такая случайная величина, которая может принимать конечное или бесконечное счетное множество значений. Из этого определения следует, что возможные значения дискретной случайной величины (д. с. в.) принципиально могут быть перечислены; число этих значений может быть конечным или бесконечным.

Дискретная случайная величина определена, если заданы все ее значения, например, х₁, , x_i, …, x_n, и их вероятности р₁, …, р_i, …, р_n . Таким образом, для задания д. с. в. Х должна быть определена совокупность (таблица) значений x_i и вероятностей р_i = Р(x_i) этих значений, которая носит название ряда распределения:

х₁, …, x_i, … , x_n, … ;

р₁, …, р_i, … , р_n, … ; . (5.1)

Соответствие между значениями x_i и вероятностями р_i называют законом распределения дискретной случайной величины Х. Этот закон может быть задан таблично, графически или аналитически.

Функция распределения дискретной случайной величины Х, заданной рядом распределения (5.1):

F(x_i) = Р(X < x_i), i = 1, 2, … .

В этом соотношении вероятность Р(X < x_i) численно равна сумме первых (i – 1) значений вероятностей р₁ + р₂, …+ р_{i – 1}, записанных во второй строке ряда распределений (5.1). Закон распределения д. с. в. может быть использован также для определения вероятности того, что случайная величина Х не превышает некоторого заданного значения x_j. Для вычисления такой вероятности, которая носит название кумулятивной P(x_j) [3], необходимо просуммировать первые значения вероятностей из ряда распределения (5.1) до вероятности р_j = Р(x_j) включительно. Таким образом, функция распределения F(x_j) и кумулятивная вероятность P(x_j) д. с. в. могут быть найдены из соотношений вида:

F(x_j) = Р(X < x_j) = ; P(x_j) = Р(Х ≤ x_j) = = F(x_j) + р_j. (5.2)

Основными свойствами функции распределения д. с. в. являются:

1) 0 ≤ F(x_j) ≤ 1;

2) F(x_j) > F(x_i) при x_j > x_i;

3) Р(a  Х < b) = F(b) – F(a).

Завершая краткую характеристику дискретных случайных величин, отметим еще одну важную деталь, которая будет необходима в дальнейшем, при рассмотрении числовых характеристик распределений. В выражении (5.1) каждое значение x_i случайной величины появляется с вероятностью р_i. Это означает, что ту же вероятность р_i появления будет иметь и произвольная функция u(x). Поэтому можно утверждать, что ряд распределения (5.1) характеризует не только случайную величину Х, но и распределение произвольной функции u(x) этой величины:

u(х₁), …, u(x_i), …, u(x_n); р₁, …, р_i, …, р_n; . (5.3)

Основными числовыми характеристиками д. с. в. служат начальный _k и центральный _k моменты k-го порядка:

_k = ; μ_k = . (5.4)

Наиболее часто при решении прикладных задач используются начальный момент первого порядка (математическое ожидание) и центральный момент второго порядка (дисперсия), для д. с. в. равные соответственно:

₁ = М(Х) = m_x = ; μ₂ = D(Х) = σ²(Х) = . (5.5)

Отметим здесь, что выражение (5.3) позволяет записать аналогичные (5.5) соотношения для числовых характеристик функции u(x) от д. с. в. x с использованием ряда распределения аргумента x, например,

m_u = ;

однако это же значение может быть получено, если определить ряд распределения для u(x). Более подробно этот вопрос рассматривается ниже.