Некие лекции по элтеху / TOE_4

МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Как было показано, режим любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании первого и второго законов Кирхгофа, причем для определения токов во всех В ветвях необходимо составить и решить систему уравнений с В неизвестными.

Число уравнений, подлежащих решению, можно сократить, если пользоваться методом узловых потенциалов, основанным на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома.

Для выяснения сущности этого метода рассмотрим, например, электрическую схему, показанную на рис. 4.16.

Пусть потенциал одного из узлов, например узла 3, принят равным нулю, т. е. ₃=0. Такое допущение не изменяет условий задачи, так как ток в каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, к которым присоединена ветвь, а от разности потенциалов между концами ветви.

Запишем уравнения на основании первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 этой схемы при выбранных положительных направлениях токов

(4.28)

Токи в ветвях согласно закону Ома (4.12а)

(4.29)

где ₁ и ₂ — потенциалы узлов 1 и 2.

После подстановки (4.29) в (4.28) и группировки членов получим

или

(4.30)

В этих уравнениях g₁₁=g₆+g₅+g₄+g₁; g₂₂= g₆+g₅+g₂+g₃ - суммы проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлам 1 и 2; g₁₂=g₂₁=g₅+g₆ - сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы.

Правая часть каждого из уравнений (4.30) равна алгебраической сумме произведений ЭДС в каждой ветви на проводимость ветви, присоединенной к рассматриваемому узлу. Произведение вида Eg записывается с положительным знаком в том случае, если ЭДС направлена к узлу, для которого записывается уравнение, и с отрицательным, если ЭДС направлена от узла.

Уравнения (4.30) не зависят от выбранных положительных направлений токов в ветвях.

Чтобы подтвердить это положение, рассмотрим опять схему, показанную на рис. 4.16, и для каждого узла примем положительные направления токов от узла.

Для узлов 1 и 2 справедливы уравнения

(4.31)

Принимая, как и раньше, ₃=0, напишем выражения для токов ветвей:

для узла 1

(4.32а)

для узла 2

(4.326)

После подстановки (4.32) в (4.31) и группировки слагаемых получаются уравнения, совпадающие с (4.30).

Таким образом, можно написать уравнения для определения потенциалов узлов произвольной электрической цепи, не задаваясь положительными направлениями токов в ветвях, при этом потенциал одного из узлов надо принять равным нулю.

Если электрическая схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, войдут и токи источников тока. При составлении уравнений вида (4.30) токи заданных источников тока учитываются для каждого узла в виде слагаемых в правой части, причем, как было отмечено выше, с положительными знаками должны быть взяты токи источников тока, направленные к узлу, с отрицательными — от узла.

Например, для узлов 1, 2 и 3 схемы, показанной на рис. 4.17, при ₄=0 получим соответственно следующие уравнения :

где

и

Если электрическая схема имеет в своем составе у узлов (у — любое целое число), а потенциал, например, у-го узла принят равным нулю, то для определения у—1 потенциалов остальных узлов получается у—1 уравнений:

(4.33)

или в более общей форме для любого узла p при _у=0

(4.33а)

В этих уравнениях, так же как и в уравнениях (4.30), проводимость g_pp (с двумя одинаковыми индексами) представляет собой суммарную проводимость ветвей, присоединенных к узлу p, и называется собственной узловой проводимостью этого узла; проводимость g_jp=g_pj с двумя различными индексами равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы j и p, и называется общей узловой проводимостью этих узлов. Правая часть каждого из уравнений содержит алгебраические суммы произведений ветви ЭДС E_pj на проводимость этой ветви g’_pj для всех ветвей, присоединенных к узлу p, ток J_p равен алгебраической сумме токов всех источников тока, присоединенных к тому же узлу. В свою очередь, правая часть уравнений (4.33) ток J_p^(y) — узловой ток — равен алгебраической сумме — и токов, определяемых источниками ЭДС, которые присоединены к узлу p, при этом следует иметь в виду, что для замкнутых поверхностей сумма всех узловых токов, как это вытекает из первого закона Кирхгофа, равна нулю. К узловым токам можно отнести и уже известные в каких-либо ветвях токи. Проводимости таких ветвей в выражения вида g_pp и g_jp не входят.

Решив уравнения (4.33), можно определить потенциалы узлов, а зная потенциалы, найти токи во всех ветвях по закону Ома.

Если в цепи имеются ветви с идеальными источниками ЭДС и сопротивлениями этих ветвей можно пренебречь, то при составлении уравнений (4.33) получается неопределенность, поскольку проводимости таких ветвей бесконечно большие. Такое затруднение преодолевается путем переноса заданной ЭДС из ветви с нулевым сопротивлением через соответствующий узел в другие ветви, присоединенные к тому же узлу и имеющие конечные значения сопротивлений. В результате такого преобразования токи во всех ветвях заданной схемы не изменяются.

Для иллюстрации рассмотрим схему (рис. 4.18, а), у которой сопротивление ветви 2-4 равно нулю, а ЭДС равна Е. Если в каждую ветвь, присоединенную, например, к узлу 2, включить источник напряжения с ЭДС, равной Е и направленной от узла 2 (на рис. 4.18, а эти ЭДС изображены штриховой линией), то токи во всех ветвях останутся без изменения, поскольку разности потенциалов между точками 1', 3', 4' будут, так же как и в заданной схеме, равны нулю. Теперь потенциалы узлов 2 и 4, очевидно, одинаковы и их можно объединить в одну точку (рис. 4.18,6). Для полученной схемы с тремя узлами (вместо четырех) можно составить два независимых уравнения вида (4.33), из которых определяются искомые потенциалы двух узлов, а затем по закону Ома токи во всех ветвях схемы (рис. 4.18,6), после чего легко найти ток в ветви с сопротивлением r=0 (рис. 4.18, а) по первому закону Кирхгофа.

Рассмотренную и аналогичные ей задачи можно решить и без предварительного переноса ЭДС через узел в другие ветви. Действительно, если принять в заданной схеме (рис. 4.18, а) ₄=0, то потенциал ₂ узла 2, очевидно, будет равен Е. Для определения двух неизвестных потенциалов ₁ и ₃ нужно составить уравнения (4.33), которые полностью совпадут с уравнениями, составленными для тех же узлов эквивалентной схемы (рис. 4.18,6). Перенос приходится делать, идеальные ЭДС включены в ветви, не имеющие общего узла.

Полезно еще рассмотреть применение уравнений (4.33) для частного случая схемы с двумя узлами и произвольным числом ветвей, все или часть которых содержат источники ЭДС. Требуется определить напряжение между этими узлами.

Пусть между узлами 1 и 2 включено т ветвей (рис. 4.19). Найдем напряжение U₁₂, записав уравнение (4.33) для первого узла

,

откуда

(4.34)

где числитель представляет собой алгебраическую сумму произведений ЭДС на проводимость для всех ветвей, содержащих ЭДС (с положительным знаком записываются ЭДС, направленные к узлу 1), а знаменатель — арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, включенных между узлами.

Если между узлами 1 и 2 включены еще источники тока, то их значения следует добавить в числитель (4.34), причем со знаком плюс записываются токи, направленные к узлу 1.

Пример. На рис. 4.20, а изображена электрическая схема с шестью неизвестными токами; ЭДС источников: Е₁=6 В, Е₂=12 В, Е₃=18 В; сопротивления ветвей: r₁=r₂=r₃=2 Ом и r₄=r₅=r₆=6 Ом. Пользуясь методом узловых потенциалов, определить токи во всех ветвях.

Решение. Пусть потенциал точки 0 равен нулю. Запишем уравнения для узлов с потенциалами ₁ ₂ и ₃:

или после подстановки численных значений проводимостей и ЭДС

Решив совместно эти уравнения, найдем искомые потенциалы: ₁=‑9 В; ₂=3 В; ₃=6 В. Для определения токов в ветвях следует задаться их положительными направлениями. При выбранных положительных направлениях токов (рис. 4.20)

МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Для расчета режима сложной электрической цепи можно ограничиться совместным решением лишь к=(в—у+1) независимых уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа методом контурных токов; здесь в, как и ранее, — число ветвей и у — число узлов, при этом первый закон Кирхгофа, конечно, всегда удовлетворяется.

Для иллюстрации применения метода контурных токов рассмотрим схему на рис. 4.21,а с шестью ветвями и четырьмя узлами. Прежде чем составлять уравнения по второму закону Кирхгофа, надо выбрать взаимно независимые контуры.

При выборе независимых контуров можно применять то же правило, что и при записи уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для схемы рис. 4.21, а ветви с токами I₄, I₅ и I₆, соединяющие узлы 1, 2, 3, 4, можно выбрать в качестве ветвей дерева (рис. 4.21,6); поэтому ветви с токами I₁, I₂ и I₃ будут ветвями связи. На рис. 4.21,6 элементы ветвей дерева изображены сплошными линиями, а элементы ветвей связи — штриховыми.

Для схем на рис. 4.21, а и б по первому закону Кирхгофа

I₁-I₄-I₃=0, I₅+I₂-I₁=0, I₆+I₃-I₂ =0. (4.41)

На основании второго закона Кирхгофа для трех контуров, каждый из которых включает только одну ветвь связи,

. (4.42)

Пользуясь уравнениями (4.41), исключим из уравнений (4.42) токи I₄, I₅ и I₆ всех ветвей дерева, общих для нескольких контуров; в результате получим

(4.43)

В соответствии с уравнениями (4.43) можно принять, что каждый из токов I₁, I₂ и I₃ замыкается через соответствующую ветвь связи в одном из контуров (рис. 4.21, а и б), и назвать такие токи контурными: I_1К=I₁; I_2К=I₂; I_3К=I₃. Напряжения на резистивных элементах любого контура равны алгебраической сумме напряжений, обусловленных токами своего и смежных контуров. Например, в контуре из элементов r₁ r₅ и r₄ разность ЭДС Е₁—Е₄ равняется сумме трех напряжений: от собственного контурного тока I_1К на всех сопротивлениях этого контура и от токов I_2К и I_3К соответственно на сопротивлениях r₅ и r₄. Токи в ветвях дерева, общих для нескольких контуров, равны алгебраическим суммам контурных токов:

I₄=I_1К-I_3К, I₅=I_1К-I_2К, I₆=I_2К-I_3К. (4.44)

Для этой же схемы можно получить и другие взаимно независимые уравнения. Например, выберем другое дерево из первой, пятой и шестой ветвей (рис. 4.21, в), так что вторая, третья и четвертая ветви будут ветвями связи, токи в которых совпадают с контурными. Применив в этом случае второй закон Кирхгофа для контуров 2-3-4-2, 3-1-2-4-3 и 2-4-1-2, получим уравнения с контурными токами I_2К, I_3К и I_4К замыкающимися через ветви деревьев по ветвям связи. Токи в ветвях дерева однозначно определяются через токи ветвей связи (совпадающие с контурными) по формулам

I₁=I_3К+I_4К, I₅=I_3К+I_4К-I_2К, I₆=I_2К-I_3К.

Выражение для тока I₅ получено по первому закону Кирхгофа для токов в ветвях, примененному к главному сечению S₅, след которого показан на рис. 4.21, в штриховой линией.

Таким образом, система взаимно независимых уравнений определяется структурой выбранного дерева и соответствующими ветвями связи.

Схема рис. 4.21, а имеет 16 деревьев, поэтому для такой схемы можно написать 16 систем независимых уравнений, каждая из которых содержит в качестве неизвестных три тока, замыкающихся по ветвям связи через ветви выбранного дерева.

Из приведенных примеров следует, что для определения токов в ветвях этим методом нужно ввести в расчет контурные токи и решить совместно систему уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа; число этих уравнений меньше числа неизвестных токов ветвей в на число узлов схемы без одного (у—1). При замене токов в ветвях контурными токами первый закон Кирхгофа удовлетворяется для каждого узла, так как каждый контурный ток в одной из ветвей контура направлен к узлу, а в другой — от того же узла. Например, для узла 4 (рис. 4.21, а) по первому закону Кирхгофа для токов ветвей получим: I₄—I₅—I₆=0, или для контурных токов (I_1К-I_3К)-(I_1К-I_2К)-(I_2К-I_3К)=0.

Если схема содержит не только источники ЭДС, но и источники тока, то можно принять ток каждого из источников тока замыкающимся по любым ветвям дерева, составляющим с ветвью источника тока — ветвью связи — замкнутый контур. Падение напряжения, вызванное током такого источника на каждом из сопротивлений контура, учитывается при записи левой части уравнений по второму закону Кирхгофа. Эти напряжения можно также учесть с обратным знаком в правой части уравнений.

В качестве примера рассмотрим схему на рис. 4.17. На основании второго закона Кирхгофа

. (4.45)

Пользуясь первым законом Кирхгофа, исключим из этих уравнений токи I₄, I₅ и I₆; в результате после группировки слагаемых получим

. (4.46)

Из этих уравнений следует, что в рассматриваемом случае ток J как бы замыкается по ветвям с сопротивлениями r₅ и r₄, дополняющими ветвь с источником тока J до замкнутого контура.

При расчете электрических цепей изложенным методом всегда стремятся к тому, чтобы число контурных токов, замыкающихся через каждую из ветвей, было по возможности минимальным. С этой целью обычно выбирают каждый контур в виде ячейки (на рис. 4.21, а три ячейки с контурными токами I_1К, I_2К и I_3К), руководствуясь указанным выше правилом выбора независимых контуров (дерева и ветвей связи) при составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа, что возможно для любой планарной схемы.

Положительные направления контурных токов можно выбирать и произвольно, т. е. независимо от положительных направлений токов в ветвях.

Установим теперь более общие, необходимые для дальнейших выводов соотношения между контурными токами, сопротивлениями и ЭДС цепи произвольной конфигурации.

Для схемы, имеющей к независимых контуров, уравнения, аналогичные (4.43), запишутся в виде

(4.48)

В этих уравнениях сопротивление вида r_ll (с двумя одинаковыми индексами) называется собственным сопротивлением контура l, а сопротивление вида r_lk=r_kl (с двумя различными индексами) — общим сопротивлением контуров l и k. Правые части уравнений (4.48) называются контурными ЭДС. Каждая из контурных ЭДС вида Е, равна алгебраической сумме ЭДС всех источников в ветвях контура l. Положительные знаки в каждом уравнении (4.48) должны быть взяты для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода соответствующего контура.

В более общем случае для электрической цепи, которая содержит как источники ЭДС, так и источники тока, контурное уравнение для l-го контура записывается в виде

(4.48а)

где обозначает собственное сопротивление контура l; r_lj — общее сопротивление двух контуров: l и j; J_lj — ток источника тока, замыкающийся по ветви с сопротивлением r_lj; — контурная ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС в контуре).

Методом узловых потенциалов целесообразно пользоваться, если число узлов схемы, уменьшенное на единицу, меньше числа независимых контуров у—1<к, а методом контурных токов — при у-1>к.