
- •Синусоидальный ток
- •Действующие ток, эдс и напряжение
- •Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами
- •Сложение синусоидальных функций времени
- •Электрическая цепь и ее схема
- •Алгебраическая сумма мгновенных значений токов в проводах, соединенных в узел, равна нулю:
- •Алгебраическая сумма мгновенных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю:
- •Ток и напряжения при последовательном соединении резистивного, индуктивного и емкостного элементов
- •Сопротивления
- •Разность фаз напряжения и тока
- •Напряжение и токи при параллельном соединении резистивного, индуктивного и емкостного элементов
- •Проводимости
- •Пассивный двухполюсник
- •Решение.
- •Мощности
- •Мощности резистивного, индуктивного и емкостного элементов
- •Баланс мощностей
- •Знаки мощностей и направление передачи энергии
- •Определение параметров пассивного двухполюсника при помощи амперметра, вольтметра и ваттметра
- •Условия передачи максимальной мощности от источника энергии к приемнику
- •Параметры и эквивалентные схемы конденсаторов
- •Параметры и эквивалентные схемы катушек индуктивности и резисторов
Алгебраическая сумма мгновенных значений токов в проводах, соединенных в узел, равна нулю:
. (6.11а)
Напряжение между двумя точками цепи переменного тока в общем случае зависит от пути, вдоль которого оно определяется. Выясним, например, каково различие в напряжениях между точками А и В двух проводов цепи переменного тока (рис. 6.7), определяемых по двум различным путям. Между точками А и В включены два вольтметра для измерения напряжения. Соединительные провода от первого вольтметра идут по пути АтВ, от второго вольтметра — по пути АпВ.
Согласно закону электромагнитной индукции напряжение вдоль замкнутого контура АпВтА равно ЭДС, индуктированной в этом контуре магнитным потоком Ф, пронизывающим поверхность, ограниченную контуром:
uAnBmA=e=‑d/dt.
Заметим, что знак минус перед d/dt ставится в том случае, если положительное направление магнитного потока и положительное направление ЭДС (направление обхода контура) согласованы по правилу правого винта. В рассматриваемом случае положительное направление Ф выбрано от читателя за плоскость чертежа. Напряжение
uAnBmA=uAn+uBmA=uAnB‑uAmB.
Подставив это равенство в предыдущее выражение, получим
uAnB‑uAmB=e=‑d/dt.
Следовательно, напряжения между двумя точками, определенные вдоль двух различных путей, отличаются друг от друга на ЭДС, индуктированную в замкнутом контуре, образованном этими двумя путями. При согласовании положительного направления ЭДС (направления обхода контура) и положительного направления магнитного потока по правилу левого винта перед производной d/dt следует поставить не знак минус, а знак плюс.
Напряжения, определяемые вдоль различных путей, будут одинаковы только в том случае, если замкнутые контуры, образованные этими путями, не пронизываются переменным магнитным потоком.
В схеме замещения напряжения между различными ее точками от пути не зависят. Так, напряжения на выводах элементов схемы r, L и С связаны с током приведенными выше соотношениями (6.8) —(6.10) вне зависимости от путей (взятых вне элементов), по которым эти напряжения определяются. Поэтому точки схемы переменного тока можно, так же как и точки цепи постоянного тока, характеризовать потенциалами, а напряжения рассматривать как разности потенциалов. Имея это в виду, говорят, что схемы или идеализированные цепи потенциальны. Изменение потенциала по любому замкнутому контуру такой цепи равно нулю. Поэтому справедлива следующая формулировка второго закона Кирхгофа:
Алгебраическая сумма мгновенных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю:
, (6.11б)
или, иначе, алгебраическая сумма мгновенных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме мгновенных напряжений на всех остальных элементах того же контура.
Выберем произвольный узел т из общего числа У. Ток в k-й ветви, соединяющей узел т с другими узлами, обозначим ik. По первому закону Кирхгофа (6.11а) для каждого т-го узла
.
Составим такие же равенства для всех У узлов и найдем их сумму:
.
В это тождество ток ветви ik входит 2 раза и с разными знаками (ток ветви направлен от одного из узлов к другому). Поэтому тождество, которое называется теоремой Телледжена, можно записать и так:
, (6.12)
где un — напряжение или разность потенциалов между узлами той из В ветвей, ток в которой in.
Произведение unin=pn — это мгновенная мощность n-й ветви, и из тождества (6.12) следует баланс мощностей: суммарная мгновенная мощность всех ветвей равна нулю (закон сохранения энергии).
Так как теорема Телледжена получена из законов Кирхгофа, то она справедлива для каждого момента любого режима (установившегося и неустановившегося) и любых цепей [линейных, параметрических, нелинейных].
Здесь рассматриваются линейные цепи, содержащие источники энергии с синусоидальными ЭДС. Если в цепи действуют несколько источников энергии, то рассматриваются только те случаи, когда частоты ЭДС всех источников одинаковы. Заметим, что именно этот случай имеет место при нормальном режиме в электрических цепях энергетических систем.
Наконец, здесь рассматриваются так называемые установившиеся режимы цепей, которые наступают после некоторого промежутка времени (обычно от долей секунды до нескольких секунд) после окончания всех коммутаций (переключений) в цепи. При установившемся режиме токи и напряжения во всех ветвях и участках линейных цепей также синусоидальные и изменяются с той же частотой, что и ЭДС источников энергии.
Таким образом, в уравнения, выражающие законы Кирхгофа, входят алгебраические суммы синусоидальных функций времени, суммирование которых, как указывалось, целесообразно заменить суммированием изображающих их комплексных величин.
После такой замены получаются законы Кирхгофа для комплексных амплитуд или для комплексных действующих токов, напряжений и ЭДС:
алгебраическая сумма комплексных токов в проводниках, соединенных в узел, равна нулю. Алгебраическая сумма комплексных напряжении на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю, или, иначе, алгебраическая сумма комплексных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех остальных элементах того же контура.