Сложение синусоидальных функций времени
При исследовании цепей синусоидального тока приходится алгебраически суммировать гармонические функции времени одинаковой частоты, но с различными амплитудами и с различными начальными фазами. Непосредственное суммирование гармонических функций времени связано с трудоемкими и громоздкими тригонометрическими преобразованиями. Значительно проще эта задача решается графически при помощи векторной диаграммы или аналитически путем суммирования комплексных амплитуд.
Пусть требуется найти сумму двух гармонических функций времени v1=V1тsin(t+1) и v2=V2тsin(t+2).
Сначала рассмотрим решение, выполняемое при помощи векторной диаграммы. Отложим векторы V1т=V1т1 и V2т=V2т2 и графически определим вектор Vт=Vт, равный геометрической сумме векторов V1т и V2т (рис. 6.5). Эта векторная диаграмма построена для случая, когда 1>0 и 2<0.
Представим себе, что векторы V1т, V2т и Vт с момента t=0 начинают вращаться вокруг начала координат О против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью . Проекция вращающегося вектора Vт(t+) на вертикальную ось N'N в любой момент времени равна сумме проекций на эту же ось вращающихся векторов V1т(t+1) и V2т(t+2), т. е. мгновенных величин v1 и v2. Следовательно, проекция вектора Vт(t+) на вертикальную ось равна искомой сумме v1+v2, а вектор Vт=Vт изображает искомую синусоидальную функцию времени v=v1+v2.
Таким образом, определив из диаграммы длину вектора Vт и угол , можем написать выражение искомой величины v=Vтsin(t+).
Теперь перейдем к аналитическому методу. Рассматривая векторы как комплексные амплитуды, на основании выполненного построения (рис. 6.5) можно написать
V1т+V2т=Vт.
Чтобы суммировать комплексные числа, представим их в алгебраической форме:
V1т=V'1т+jV''1т; V2т=V'2т+jV''2т.
Выполнив суммирование, получим.
V'1т+jV''1т+V'2т+jV''2т=V'т+jV''т=Vт,
где
V'т=V'1т+V'2т; V''т=V''1т+V''2т.
Отсюда находим
.
Так как tg=tg(±), то для определения нужно еще знать, в какой четверти располагается вектор Vт. Это легко устанавливается по знакам действительной и мнимой частей Vт. В расчетах начальную фазу выражают или в радианах, или в градусах.
Рассмотренные способы можно применить для сложения любого числа синусоидальных функций времени одинаковой частоты.
Обычно при расчетах цепей синусоидального тока необходимо знать только действующие величины для синусоидальных функций времени и их сдвиг по фазе относительно друг друга. В этих случаях при построении векторных диаграмм нужно точно соблюдать углы сдвига фаз между векторами, а положение осей координат можно выбрать произвольно или оси совсем не изображать. Кроме того, длины векторов часто берут равными не амплитудным, а действующим величинам.
Соответственно
при аналитическом расчете начальные
фазы можно изменить на один и тот же
угол, например так, чтобы начальная фаза
одной из рассматриваемых функций стала
равной нулю. Вместо комплексных амплитуд
часто берут значения, в
раз меньшие, так называемые комплексные
действующие величины:
Пример. Даны токи i1=6sin(t+120°) А и i2=1,5sin(t+30°) А.
Определить ток i3, равный разности токов i1—i2.
Решение. I1m=6120°=‑3+j5,2 А; I2m=1,530°=1,3+j0,75 А; I3m=I1m‑I2m=‑4.3+j4.45=6.19134° А.
Следовательно, i3=6,19sin(t+134°) А.