§ 1.4. Двухполюсные пассивные элементы

Основными двухполюсными пассивными элементами схемы являются резистивный (сопротивление или проводимость), индуктивный и ёмкостный элементы.

Резистивный элемент. Двухполюсный элемент, характеризуемый зависимостью и=и(i) или i(u) (см. рис. 1.1), называют резистивным элементом — сопротивлением или проводимостью. Зависимость и(i) или i(и) называют вольт-амперной характеристикой такого элемента (Все характеристики, рассматриваемые в данном параграфе, представляют собой статические характеристики, т. е. характеристики, полученные при достаточно медленном изменении во времени соответствующих величин.).

В общем случае вольт-амперная характеристика нелинейна. Например, на рис. 1.7, а, б показаны две нелинейные характеристики, которые могут иметь реальные элементы — полупроводниковые диоды различных типов. Элементы с нелинейными зависимостями и(i) или i(и) характеризуются нелинейными сопротивлениями или проводимостями.

Если зависимость u=u(i) представляет собой прямую линию, то сопротивление (проводимость) называют линейным (рис. 1.7, в). Обозначение такого сопротивления дано на рис. 1.8.

Линейное сопротивление описывается соотношением (закон Ома)

и_r=ri, (1.3)

или

i=gu_r, (1.4)

где r — сопротивление; g=1/r — проводимость,

Сопротивление r>0 — пассивный элемент. Энергия, поступающая в данный элемент,

.

Эта энергия преобразуется в тепловую энергию (необратимо рассеивается). При этом мощность p=i²r (закон Джоуля — Ленца).

Сопротивление r как элемент схемы соответствует элементу цепи — резистору, если последний идеализируется.

Резистор представляет собой, например, проводящий однородный цилиндр длиной l и поперечным сечением S (рис. 1.9). Проводящие свойства материала цилиндра характеризуют удельной проводимостью . Сопротивление и проводимость цилиндра равны, соответственно:

r=l/(S), g=S/l

Индуктивный элемент. Индуктивная катушка часто представляет собой кольцевой сердечник, на который равномерно нанесена обмотка с числом витков w (рис. 1.12); материал сердечника характеризуется магнитной проницаемостью . Ток i в обмотке создает магнитный поток Ф, замыкающийся в сердечнике (потоком вне сердечника можно пренебречь). Направления тока i и потока Ф связаны правилом правого винта.

Потокосцепление катушки =wФ, так как поток, сцепленный с каждым витком обмотки, в этом случае можно считать одинаковым. Магнитный поток

где — вектор магнитной индукции; S — сечение сердечника. В однородной линейной среде вектор

,

где — вектор напряженности магнитного поля; ₀=4л10^-7 Гн/м — магнитная постоянная.

По закону полного тока,

,

где l — замкнутый путь интегрирования.

Если внутренний и внешний диаметры сердечника превышают размеры поперечного сечения S, то поток Ф можно считать равномерно распределенным по сечению. В этом случае потокосцепление равно

где l определяется по среднему диаметру (по средней силовой линии).

Величина L=/i называется индуктивностью, она измеряется в генри (Гн). В нашем случае:

L=₀w²S/l

Напряжение на зажимах индуктивности равно:

Если индуктивность постоянна, то:

(1.6)

Ток в линейной индуктивности равен:

. (1.7)

Как видно из формулы (1.6), напряжение u_l на зажимах индуктивности отлично от нуля только при iconst (const). Изменяющийся ток i создает изменяющийся магнитный поток. По закону электромагнитной индукции, изменение магнитного потока вызывает э. д. с. (называемую э. д. с. самоиндукции), противодействующую, согласно правилу Ленца, изменению потока:

или в случае линейной индуктивности

(положительные направления e_L и i совпадают).

Если потокосцепление (ток) возрастает, то e_L<0; если потокосцепление (ток) убывает, e_L>0. Напряжение на зажимах катушки (положительные направления u_L и i совпадают) u_L=‑e_L, так как оно должно уравновешивать э. д. с. e_L.

Линейная индуктивность при L=const>0 - пассивный элемент. Энергия, поступающая в такой элемент, равна:

,

при условии i(0)=0.

Индуктивный элемент не рассеивает энергию, а запасает в своем магнитном поле.

Емкостной элемент. Рассмотрим конденсатор, представляющий собой два проводящих параллельно расположенных электрода площадью S, разделенных диэлектрическим слоем толщиной d, свойства которого характеризуются диэлектрической проницаемостью  (рис. 1.15).

При напряжении u=₁-₂>0 между электродами на одном из них будет положительный заряд q₊=q, на другом — отрицательный заряд q_-=-q. Заряд

,

где — вектор электрического смещения, связанный в однородной линейной среде с вектором напряженности равенством

(₀=1/(4910⁹) Ф/м — электрическая постоянная).

Если поле в конденсаторе считают равномерным, то

Величина С=q/u_C называется емкостью. Емкость измеряется в фарадах (Ф). В нашем случае:

У линейного емкостного элемента заряд q пропорционален напряжению:

q=Cu_C (1.8)

Ток через емкость

Если С=const, то

(1.9)

Напряжение на зажимах емкости

(1.10)

Обозначение линейной емкости приведено на рис. 1.14.

Как видно из равенства (1. 8), ток через емкость отличен от нуля только при и_Сconst. Изменение напряжения на электродах вызывает изменение величины заряда каждого из них. Если напряжение возрастает, ток i>0, т. е. конденсатор заряжается; заряд q=q₊=-q_- увеличивается. Если напряжение убывает, ток i<0, т. е. конденсатор разряжается; заряд q=q₊=-q_- уменьшается.

Формула (1. 9) записана для совпадающих положительных направлений и_С и i (рис. 1.14 и 1.15); при этом знаки и_С и q₊=-q_- всегда одинаковы. Ток i между электродами конденсатора является током смещения.

Линейная емкость при С=const>0 представляет собой пассивный элемент. Энергия, поступающая в такой элемент,

[при и_С(0)=0].

В данном случае энергия запасается в электрическом поле, связанном с емкостью.

Процесс запасания энергии как в магнитном, так и в электрическом полях является обратимым. Запасенная энергия может быть отдана другим элементам цепи. Например, энергия заряженного конденсатора при разряде его на сопротивление рассеивается в этом сопротивлении; разряжающийся конденсатор можно рассматривать в указанном смысле как активный элемент — источник энергии.

Схемы замещения резисторов, индуктивных катушек и конденсаторов. Идеализированные схемные элементы — сопротивление r, индуктивность L, емкость С — отражают основные свойства и параметры соответственно резисторов, индуктивных катушек и конденсаторов, обусловленные физическими процессами необратимого рассеяния энергии и обратимого накопления энергии, связанной с магнитным и электрическим полями.

При определенных условиях необходимо учитывать свойства и параметры реальных элементов, обусловленные побочными (так называемыми паразитными) процессами. Например, на высоких частотах на работу схемы влияют скорость изменения магнитного потока, сцепленного с резистором, и ток смещения, т. е. индуктивность и емкость резистора, которыми при других условиях можно пренебречь. У индуктивной катушки в ряде случаев требуется учесть потери энергии в обмотке и сердечнике, межвитковую емкость; у конденсатора — потери энергии в несовершенном диэлектрике, индуктивность выводов.

С помощью идеализированных элементов r, L и С можно составить схемы замещения резисторов, индуктивных катушек и конденсаторов, учитывающие побочные процессы. Например, на рис. 1.16, а показана схема замещения резистора, учитывающая его индуктивность и емкость; на рис. 1.16, б, в приведены схемы замещения индуктивной катушки и конденсатора, учитывающие потери энергии, паразитные емкости и индуктивности. Параметры таких схем замещения находят на основании экспериментальных данных, а также в определенных случаях — расчетным путем.