§ 1.2. Схема электрической цепи и элементы схемы

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения.

Как уже отмечалось, реальные элементы цепи идеализируются для упрощения математического описания элемента. Однако идеализированные уравнения должны правильно отражать основные физические явления в том или ином реальном элементе.

Идеализированному элементу цепи ставят в соответствие его математическую модель — схемный элемент. Уравнения, описывающие схемный элемент, идентичны идеализированным уравнениям реального элемента электрической цепи. Схемные элементы могут быть введены и как математические абстракции; при этом они необязательно должны соответствовать каким-либо реальным элементам цепи. Однако любой реальный элемент цепи с необходимой степенью точности можно представить с помощью одного или совокупности схемных элементов, соединенных определенным образом. Такую совокупность схемных элементов (в частном случае один схемный элемент) называют схемой замещения или эквивалентной схемой элемента электрической цепи при условии совпадения уравнений, описывающих эту схему и элемент цепи.

Каждому схемному элементу соответствует условное геометрическое изображение. Тогда способ соединения элементов реальной цепи легко представить с помощью соответствующего соединения схемных элементов. Геометрическое изображение соединения схемных элементов, отображающее соединение реальных элементов электрической цепи и ее свойства, называют схемой цепи.

В схеме выделяют ветви — участки, которые характеризуются одним и тем же током в начале и конце в любой момент времени, и узлы — граничные (концевые) точки ветвей. Напряжение ветви тождественно разности потенциалов ее узлов.

Ветвям и узлам схемы, как правило, соответствуют ветви и узлы реальной цепи. В схемах электрических цепей, содержащих многополюсные элементы, некоторые узлы и ветви могут не отображать узлы и ветви цепи. Кроме того, некоторые ветви схемы вводят для учета конструктивных и монтажных параметров цепи (например, паразитных емкостей между зажимами элемента, емкостей монтажа, индуктивностей выводов).

Применительно к электрической цепи ветвь часто определяют как участок цепи, в любом сечении которого ток имеет одно и то же значение в данный момент времени, а узел — как «место» соединения ветвей.

§ 1.3. Двухполюсные активные элементы

Любой двухполюсный элемент схемы может быть условно представлен так, как показано на рис. 1.1. Зажимы 1 и 2 присоединяют данный элемент к другим элементам. Напряжение между этими зажимами и ток элемента обозначены соответственно через и, i. Напряжение измеряется в вольтах (В), ток — в амперах (А). Стрелки без просвета (с просветом) определяют положительные направления напряжения (тока).

Напряжение и и ток i в общем случае представляют собой функции времени t:

и=и(t); i=i(t).

Для любого фиксированного момента рис. 1.1 времени напряжение и ток могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Положительное направление выбирают для того, чтобы придать знакам напряжения и тока определенный смысл.

Напряжение и (рис. 1.1) отождествляют с разностью потенциалов на зажимах 1 и 2, т.е.

и=₁-₂.

Если для какого-либо момента времени напряжение и>0 (и<0), то это означает, что потенциал ₁ узла 1 больше (меньше) потенциала ₂ узла 2. (Потенциал любого узла схемы отсчитывается относительно некоторой точки, потенциал которой принимается равным нулю.).

Положительное направление напряжения можно указать двойным индексом. Так, на рис. 1.1 в качестве положительного направления выбрано направление напряжения u₁₂. При этом

u₁₂=-u₂₁.

Ток i равен скорости изменения заряда q_t переносимого заряженными частицами через поперечное сечение участка цепи, т. е.

i=dq/dt.

В общем случае заряд q представляет собой сумму заряда q⁺, переносимого положительно заряженными частицами, и абсолютной величины заряда q^-, переносимого отрицательно заряженными частицами. Величина заряда измеряется в кулонах (Кл). За направление тока принимают направление перемещения положительно заряженных частиц, или, что то же самое, направление, противоположное направлению перемещения отрицательно заряженных частиц. Если при указанном положительном направлении в некоторый момент времени ток i>0 (i<0), то это означает, что направление тока совпадает с положительным направлением (противоположно положительному направлению).

Положительное, направление напряжения и тока выбирают произвольно. Любые соотношения, характеризующие взаимосвязь между напряжениями и токами элемента (схемы в целом), имеют смысл лишь для выбранных положительных направлений.

У двухполюсного элемента ток через поперечное сечение проводника у зажима 1 равен току через поперечное сечение проводника у зажима 2 (при учете соответствующих направлений). Поэтому в дальнейшем ток двухполюсника будет указываться на схеме только один раз.

Для принятых на рис. 1.1 положительных направлений напряжения и тока произведение т выражает мгновенную мощность, потребляемую двухполюсником:

р(t)=и(t)i(t).

Мощность характеризует скорость изменения энергии W(t), т. е.

р(t)=dW(t)/dt

Энергия, поступившая в цепь,

где  — переменная интегрирования.

Если для любого момента времени t энергия W(t)0, то соответствующий двухполюсный элемент является потребителем энергии и называется пассивным.

Активный двухполюсник генерирует энергию. Для такого двухполюсника W(t)<0.

Если на рис. 1.1 изменить положительное направление тока на противоположное, то интеграл

будет определять генерируемую энергию. В этом случае W(t)>0 соответствует источнику (активному двухполюснику), a W(t)0 — потребителю энергии (пассивному двухполюснику).

Реальным источникам энергии можно поставить в соответствие двухполюсные схемные элементы: источник э. д. с. (напряжения) и источник тока.

Источник э. д. с. Источник э. д. с. (напряжения) характеризуется величиной э. д. с. е(t)_, равной напряжению, т. е. разности потенциалов на зажимах при отсутствии тока через источник. Э. д. с. определяют как работу сторонних сил, присущих источнику, на перемещение единичного положительного заряда внутри источника от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом.

Напряжение и(t) на зажимах реального источника э. д. с. зависит от тока через источник. Если этой зависимостью можно пренебречь, т. е. если напряжение на зажимах источника равно э. д. с. при любом токе через источник и(t)=е(t), то источник э. д. с. называют идеальным. Обозначение идеального источника э. д. с. дано на рис. 1.2, а; стрелка внутри кружка указывает положительное направление действия сторонних сил в источнике (положительное направление э. д. с.).

Источник, у которого э. д. с.

е(t)=E=const,

называют источником постоянной э. д. с. В противном случае источник называют источником переменной э. д. с. У источника постоянной э. д. с., изображенного на схеме, начало (конец) стрелки, указывающей положительное направление э. д. с. >0 (рис. 1.2, а), соответствует отрицательному (положительному) зажиму. Возможно также изображение источника постоянной э. д. с., показанное на рис. 1.2, б.

Зависимость напряжения и на зажимах реального источника от тока i через источник может быть различной, В простейшем случае у источника постоянной э. д. с. эта зависимость выражается уравнением

и=E-r_Вi. (1.1)

Уравнению (1.1) соответствует схема замещения источника на рис. 1.3. В этой схеме элемент r_В последовательно соединенный с идеальным источником э. д. с. , называют внутренним сопротивлением источника и характеризуют соотношением и_В=r_Вi.

Таким образом, в уравнении (1.1) учитывается падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника: напряжение и на зажимах реального источника меньше э. д. с. на величину падения напряжения во внутреннем сопротивлении. Идеальный источник э. д. с. имеет r_В=0.

График зависимости (1.1) показан на рис. 1.4, а. Ток

i_КЗ=E/r_В

— это ток короткого замыкания источника, т. е. ток при напряжении на зажимах и=0.

Зависимости и(i) для реальных источников, называемые внешними характеристиками, отличаются от линейной зависимости на рис. 1.4, а. Пример внешней характеристики реального источника постоянной э. д. с. дан на рис. 1.4, б; в определенном диапазоне изменения тока эта характеристика близка к линейной и описывается уравнением (1.1).

У источников переменной э. д. с. с напряжением и(t) напряжение во внутреннем сопротивлении в некоторых случаях определяют как и_В=r_Вi. Тогда схема замещения источника аналогична схеме на рис. 1.3.

Источник тока. В отличие от источника э. д. с. источник тока характеризуется током i(t) при короткозамкнутых зажимах, (при отсутствии напряжения на зажимах источника). Если ток источника не зависит от напряжения, т. е. i(t)=J(t) для любых напряжений на зажимах, то источник тока называют идеальным. Обозначение идеального источника тока приведено на рис. 1.5.

Двойная стрелка с разрывом в кружке показывает положительное направление тока источника тока.

Если J(t)=const, то источник называют источником постоянного ток а; в противном случае — источником переменного тока.

Ток i реального источника энергии зависит от напряжения и на его зажимах. Так, из уравнения (1.1)

i=(E/r_В)-(и/r_В)=J-g_Ви

где J=E/r_В, g_B=1/r_В — внутренняя проводимость.

Уравнению (1.2) соответствует схема замещения на рис. 1.6. В этой схеме элемент g_B, параллельно соединенный с идеальным источником J, называют внутренней проводимостью и характеризуют соотношением i_B=g_Bu.

Идеальный источник тока имеет g_B=0.

Схема замещения реальных источников переменного тока в ряде случаев может быть представлена схемой, аналогичной схеме на рис. 1.6.

Эквивалентность источников. Можно говорить о двух схемах замещения реального источника электрической энергии (рис. 1.3 и 1.6). Эти схемы эквивалентны, если J=E/r_В, g_B=1/r_В, т. е. при одном и том же напряжении и (токе i) токи i (напряжения и) этих схем одинаковы.

Рассмотрим источники напряжения (рис. 1.3.) и тока (рис.1.6): пусть на их внешних выводах одинаковое напряжение u, тогда их токи вычисляются по формулам:

i=(E-u)/r_В, i=J-ug_В.

Приравняв друг другу токи источников, получим условия их эквивалентности:

J=E/r_В, g_B=1/r_В.

Докажем активность источников, схемы которых приведены на рис. 1.3 и 1.6. Так, для положительных направлений напряжений и токов на рис. 1.3 энергия, отдаваемая источником,

У источника u>0, i>0 и, следовательно, отдаваемая энергия W(t)>0. Слагаемое характеризует энергию, генерируемую идеальным источником э. д. с.; слагаемое соответствует энергии, рассеиваемой на внутреннем сопротивлении источника.

Если при положительных направлениях, принятых на рис. 1.3, u>0, i<0, то W(t)<0, т. е. энергия потребляется. Такой случай возможен, например, при зарядке аккумулятора, когда аккумулятор является потребителем энергии.

Энергия, отдаваемая источником на рис. 1.6,

Слагаемое определяет энергию, генерируемую идеальным источником тока; слагаемое характеризуем потери энергии, обусловленные внутренней проводимостью источника.

Эквивалентные источники (рис. 1.3 и 1.6) по отношению к внешним зажимам генерируют одинаковую энергию. Энергия, отдаваемая идеальными источниками э. д. с. и тока, для этих схем различна. Действительно,

EiJu

так как Ei=(Jr_B)i; Ju=J(r_Bi_B); ii_B.

В дальнейшем, если нет оговорки, под источниками э. д. с. и тока понимают идеальные источники.