Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / Новая папка / 26

26. Расчёт переходных процессов операторным методом. Преобразование Лапласа. Функции-оригиналы и изображения, примеры.

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ – с помощью преобразования Лапласа.

Определения.

Оригиналом называется функция переменной t (времени), имеющая следующие свойства:

1. f(t)=0, если t<0;

2. f (t) < Meσ 0t , σ 0 > 0, M > 0 ;

3.функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е. на каждом конечном интервале она имеет конечное число максимумов и минимумов и разрывов первого рода.

Сопоставим ей функцию комплексной переменной p=σ+jω, задаваемую формулой

(1):

функция F(p) называется изображением по Лапласу функции f(t).

Если функция f(t) удовлетворяет вышеперечисленным условиям, то интеграл (1)

∞

абсолютно сходится в области Rep=σ>σ0 (т.е. сходится интеграл ∫ e− pt f (t) dt ). В этой

0

области функция F(p) является аналитической функцией комплексного аргумента, т.е. в каждой точке она разлагается в степенной ряд.

Обозначения изображения по Лапласу:

обозначение:

L-1[F(p)]=f(t),

аналогично:

Определение 2. Единичный импульс или δ-функция d(t) имеет следующий вид:

−∞

Объяснить появление такой парадоксальной функции можно следующим образом: рассмотрим функцию в виде импульса конечной длительности (рис. 1,а).

и

δ(t) = lim d (t,τ ) .

τ→0

Кроме этого, рассмотрим функцию e(t,τ) (рис. 1,б):

очевидно, что выполнены следующие соотношения:

1(t) = lim e(t,τ ) ,

τ →0