Добавил:

ICK Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Предмет:

Электротехника

Файл:

22.0 23.0 24

.0.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2014

Размер:

149.66 Кб

Скачать

☆

22. Расчет переходных процессов классическим методом. Составление характеристического уравнения.

23. Расчет переходных процессов классическим методом. Независимые и зависимые начальные условия.

24. Расчет переходных процессов классическим методом. Корни характеристического уравнения. Характер переходного процесса.

ЭТАПЫ РАСЧЁТА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ.

1)Составление характеристического уравнения и поиск его корней.

2)Поиск принуждённой составляющей.

3)Нахождение независимых и зависимых начальных условий.

4)Вычисление констант свободной составляющей из начальных условий.

		n
Решение получается в виде:	U (t ) = U ПР (t ) + ∑ A j e p j t		( 7' )
		j =1
где U ПР - принуждённое решение,		n – порядок ОДУ (число индуктивностей и ёмкостей) p j - корни
характеристического уравнения,		могут быть комплексными, Aj	- постоянные интегрирования,
определяемые из граничных условий.

Формула ( 7' ) справедлива для случая различных вещественных корней характеристического уравнения.

Пусть характеристическое уравнение имеет n корней и pк	= pк+1 = p , тогда
n
U (t) = U ПР (t) + ∑ Aj e p jt + ( Ak + Ak +1t)e pt	(7')
j =1
j ¹k ,k +1

Если число одинаковых корней равно m, то соответствующий член имеет вид:

( A + A t + A t 2		+ ... + A t l -1 )e pt	(7')
1 2	3	m

В линейных пассивных схемах (без управляемых источников) все действительные корни отрицательные. Характеристическое уравнение – алгебраическое n-ой степени с действительными коэффициентами,

если оно имеет комплексные корни, то они парные сопряжённые, а действительная часть меньше или равна нулю.

p1 = −b + jω;

= −b − jω ,

тогда соответствующий

член

свободной

составляющей

принимает вид

( A cosωt + A sinωt)e-bt = B sin(ωt +ψ )e-bt

(7''')

B =

ψ = arctg

+ A2 ,

Рассмотрим каждый из этапов расчёта.

1) Составление характеристического уравнения. Составляется по ОДУ заменой

d nU

на

p n

, но само ОДУ

dt n

выводить не обязательно

св

= Ae pt

= Ri

+ L

diсв

dt = RAe pt + pLAe pt +

Ae pt = (R + pL +

) Ae pt = Z ( p)i

св

c ∫

Z ( p) = R + pL +	1	отличается от комплексного сопротивления ветви Z ( jω ) только тем, что jω
	pc

заменяется на p . Поэтому надо записать сопротивления индуктивностей в виде pL, сопротивления

ёмкостей в виде 1/(pC) и составить систему уравнений по I и II законам Кирхгофа. Приравняв к нулю определитель этой системы уравнений, получим характеристическое уравнение. Можно составить систему уравнений по методу контурных токов или узловых потенциалов, приравняв определитель полученной системы к нулю, получим характеристическое уравнение. Корни получающихся уравнений одинаковы.

При составлении характеристического уравнения все источники из цепи должны быть выключены!

Ключ размыкается.

+ pL +

) -

= 0

pC pC

R + pL +

−

= 0

I1 + (R 2 +

)I 2

= 0

−

R2 +

(R + pL +

)(R

) -

= R R

+ pR

L +

pC ( pC)2

( pC)2

CR R

p + R

CLp 2 + R

+ R + pL = R

CLp 2 + (R R

C + L) p + R + R

= 0

R = R = 1000Ом, L = 0,1Гн, C = 10−7 Ф

1000 ×10−7 × 0,1p 2

+ (103 ×10−7 + 0,1) p +103 +103

= 0

10−5 p 2

+ 0,2 p + 2 ×103 = 0 => p 2

+ 2 ×104 p + 2 ×108

= 0

p = -104 ± 108 - 2 ×108

= -104 ± j104

1,2

Свободная составляющая имеет вид:

( A cos10 4 t + A sin 10 4 t)e −10 4 t

Характеристическое уравнение схемы можно получить следующим образом. Из схемы выключаются все источники, потом берётся произвольная ветвь схемы, размыкается: получаются 2 зажима, относительно этих двух зажимов вычисляется входное сопротивление полученной схемы и приравнивается нулю, т.е. характеристическое уравнение примет вид:

Zвх ( p) = 0 . Это – метод входного сопротивления.

Пример:

	L = 0,1Гн
Ключ замыкается:	C = 10−7 Ф
	R = 1000Ом

Вычислим входное сопротивление относительно зажимов источника Е:

R(R +

)

Zвх ( p) = R + pL +

= R + pL +

2Cp + R

(R + pL)(2RCp +1) + R 2Cp + R

2RCp +1

2R +

2RCp +1

2R 2Cp + 2RCLp 2 + R + pL + R 2Cp + R

2RCp +1

2RCLp 2 + (3R 2C + L) p + 2R = 0
2	×103 ×10−7 × 0,1p 2 + (3 ×106 ×10−7		+ 0,1) p + 2 ×10				3 = 0
2	×10−5 p 2 + 0,4 p + 2 ×103	= 0 => p 2			+ 2 ×104	p +	108 = 0

p = -104 ± 108 -108		=> p = p		2	= -104
	1,2	1		2
Свободная составляющая принимает вид					( A + A t)e −104 t
					1	2

Третий способ получения характеристического уравнения: из схемы после коммутации выключаются все

источники (ЭДС –	закорачиваются, тока – разрываются),	относительно двух произвольных узлов схемы
вычисляется проводимость и приравнивается нулю:		Yвх ( p) = 0
Это – метод входной проводимости.
Пример:
R = 103 Ом
L = 0,1Гн	e(t) = 10sin(104 t)

C = 10−7 Ф

(3R + Lp)(2RCp +1) + 2R 2Cp + R + RCp(3R + Lp)

3R + Lp

2RCp +1

R(2R + Lp)(2RCp +1)

6R 2Cp + 2RCLp 2 + 3R + Lp + 2R 2Cp + R + 3R 2Cp + RLCp2

R(2R + Lp)(2RCp +1)

3RLCp 2 + (11R 2C + L) p + 4R

= 0

R(2R + Lp)(2RCp +1)

×103 × 0,1×10−7 p 2

+ (11×106 ×10−7 + 0,1) p + 4 ×103 = 0

×10−5 p 2 +1,2 p + 4 ×103

= 0 => 3 p 2

+12 ×104 p + 4 ×108 = 0

p1,2 = -12 ×104 ± 144 ×108 - 48 ×108 6

p = -2 ×104	±	4		×104
		4	6
			6
1,2	6
	6
Свободная составляющая имеет вид:					A e p1t + A e p2t
					1	2

2) Поиск принуждённой составляющей. Расчёт установившегося режима после коммутации: если источник постоянный, делается расчёт цепи постоянного тока (емкость - разрыв, индуктивность – закорачивающий провод), если источник синусоидальный, режим рассчитывается методом комплексных амплитуд с последующим определением мгновенных значений по комплексным амплитудам. Для расчёта периодического несинусоидального сигнала используется разложение в ряд Фурье. Рассмотрим схему предыдущего примера:

( jωL + 3R)(2R +

)

Zвх ( jω ) = R +

jωC

= R +

( jωL + 3R)(1 + j2ωRC)

5R + jωL +

1 -ω 2 LC + 5 jωRC

jωC

R - ω 2 LCR + jω5R 2C + jωL + 3R -ω 2 2RLC + jω 6R 2C

1 -ω 2 LC + jω5RC

4R -ω 2 3RLC + jω11R 2C + jωL

1 -ω 2 LC + jω5RC

I m ( jω ) =

E( jω )

10e j 0

B = 10

1 - ω 2 LC + jω5RC

Z ( jω )

- ω 2 3RLC + jω11R 2C + jωC

2R +

1 + jω 2RC

I mL ( jω ) = I m ( jω )

jωC

I m

( jω )

- ω 2 LC + jω5RC

5R + jωL + _

jωC

I mL ( jω ) = 10

1 - ω 2 LC + jω5RC

1 + jω 2RC

4R - ω 2 3RLC

+ jω11R 2 C

jωL 1

- ω 2 LC + jω

5RC

= 10

1 + jω 2Rc

4R - ω 2 3RLC + jω11R

2 C + jωL

I mc ( jω ) = I m ( jω )

3R + jωL

= I m ( jω )

- ω 2 LC + jω3RC

1 - ω 2 LC + jω5RC

5R + jωL +

jωC

= 10

1 - ω 2 LC + jω5RC

- ω 2 LC + jω3RC

4R - ω 2 3RLC + jω11R 2C + jωL

1 - ω 2 LC + jω5RC

= -10

ω 2 LC - jω

3RC

4R - ω 2 3RLC

+ jω11R 2C + jωL

ω 2lc = 108 × 0,1×10−7

= 1

ωRc = 104 ×103 ×10−7 = 1

ω 2 Rlc = 108 ×103 × 0,1×10−7

= 103

ωR 2 c = 104 ×106 × 0,1×10−7

= 103

ωR 2 c = 104 ×106 ×10−7 = 103

ωl

= 104 × 0,1 = 103

1 -1 + j5

j π

I m

( jω ) = 10

= 10

= 0,05

e 2

×103 - 3 ×103 + j11×10

3 + j103

103 + j12

×103

12,042e j1,488

= 4,152 ×10−3 e j 0,0831 ( A)


I		( jω) =10			1+ j2	=10 - 22,236e j1,107		=1,857 ×10−3 e− j 0,381
I	lm	( jω) =10			+ j12 ×103	=10 - 22,236e j1,107		=1,857 ×10−3 e− j 0,381
	lm	103					12,042e j1,488
		103					12,042e j1,488
I cm			( jω ) = 10		-1 + j3		= 10 - 23,162e j1,893	= 0,2626e j 0,405 ×10−2
I cm			( jω ) = 10		+ j12 ×103		= 10 - 23,162e j1,893	= 0,2626e j 0,405 ×10−2
			10	3	+ j12 ×103		12,042e j1,488

i(t) = 4,152 sin(104 t + 0,0831) мА il (t) = 1,857 sin(104 t - 0,381) мА ic (t) = 2,626 sin(104 + 0,405) мА

3) Вычисление независимых начальных условий. По схеме до коммутации определяются напряжения на ёмкостях и токи индуктивностей, которые не меняются в момент коммутации Пример:

R = 103 Ом
L = 0,1Гн	E = 10В
C = 10−7 Ф

Расчёт независимых начальных условий. Эквивалентная схема:


iL (0− ) =		E		=		10			= 3,33мА
						3 ×103
		3R
U C	(0− ) =		E		R =		E	= 3,33В

			3R			3

iL (0+ ) = 3,33 ×10−3 A U C (0+ ) = 3,33B

Расчёт зависимых начальных условий. Эквивалентная схема для момента времени 0+ составляется следующим образом. В схеме после коммутации емкости заменяется источниками ЭДС с величиной ЭДС, равной UC(0), а индуктивности – источниками тока с токами, равными IL(0), по этой схеме рассчитываются все остальные токи и напряжения по законам Кирхгофа.

i( 0

+ ) =

E -U c

(0)

10 - 3,333

3,33 ×10

−3

2 ×10

Из эквивалентной схемы:

U c (0)

3,33

iR (0+ ) =

= 1,667 ×10−3 A

2 ×10

I закон Кирхгофа для узла 1

i(0+ ) = iL (0+ ) + iR (0+ ) + iC (0+ )

iC (0+ ) = i(0+ ) − iL (0+ ) - iR (0+ ) = 3,33 ×10−3 - 3,33 ×10−3 -1,667 ×10−3 = -1,667 ×10−3 A

dU C

= iC

=> iC

= C

dU C

(1)

и iL (0)) , находим iC (0+ ) - зависимое начальное условие.

Зная независимые начальные условия (UC (0)

По формуле (1) – найдём

dU C

diL

U L = L

=> U L (0+ ) = L

(2)

зная независимые

условия, находим U L

(0+ ) , поо (2) -

diL

(независимые источники).

вычислим

Составим схему, где вместо независимых источников ЭДС и тока стоят источники

, вместо

индуктивностей – источники тока

di L

вместо емкостей -

источники напряжения

dU C

, по этой

diR

dU R

dic

dU l

схеме вычисляем все производные:

Из (1) и (2) следует:

diC

= C

d 2U C

dU L

= L

d 2 iL

, что позволяет вычислить вторые

dt 2

производные для всех токов и напряжений, и т.д.

iC (0+ ) = i(0+ ) - iL (0+ ) - iR (0+ ) = 1,667 ×10−3 A

dU C

iC (0+ )

1,667 ×10−3

= 1,667 ×10

4 A × B

10−3

Кл

E = 2Ri + RiL + U L

U L

= E - 2Ri - RiL

= 10 - 2000 × 3,33 ×10−3 -1000 × 3,33 ×10−3 = 10 - 6,67 - 3,33 = 0

diL

U L

× c

Характеристическое уравнение и его корни:

Y ( p) =

+ Cp =

R + Lp + R + R 2Cp + RLCp 2

R + Lp

R 2 + RLp

RLCp 2

+ (R 2C + L) p + 2R = 0

103 × 0,1×10−7 p 2

+ (106 -10−7

+ 0,1) p + 2 ×103 = 0

10−5 p 2

+ 0,2 p + 2 ×103

= 0 => p 2

+ 2 ×104 p + 2 ×108 = 0

= -104 ± 108

- 2 ×108 = -10 ± j104

1,2

Свободная составляющая имеет вид: ( Asin104 t + B cos104 t)e−104 t A, B – неопределённые постоянные.

Принужденная составляющая вычисляется по эквивалентной схеме установившегося режима после коммутации.

Zbx

= 2R +

2R 2

= 2R +

iпр

= 0,375 ×10−2 A = 3,75мА

8 R

8 1000

i(t) = iпр

+ iсв (t) = 3,75 ×10−3 + ( Asin104 t + B cos104 t)e−104 t -104 ( Asin104 t + B cos104 t)e−104 t

i(0+ ) = 3,75 ×10−3 + B = 3,333 -10−3 × ( A)

i(0+ ) = 104 -104 B = 0,0833 × (

)

B = -0,417 ×10−4 A

A =

0,0833 - 0,417

= 0,333 ×10−4 A

104

Ответ:

i(t) = 3,75 − (0,0333 sin 10 4 t + 0,0417 cos10 4 t)e −104 t мА

Соседние файлы в папке Новая папка

#
20.05.201458.11 Кб818.0.pdf
#
20.05.201474.23 Кб819.0.pdf
#
20.05.201481.55 Кб92.0.pdf
#
20.05.2014101.65 Кб820.0.pdf
#
20.05.201468.31 Кб921.0.pdf
#
20.05.2014149.66 Кб822.0 23.0 24.0.pdf
#
20.05.2014114.31 Кб824.0 25.0.pdf
#
20.05.201472.88 Кб826.0.pdf
#
20.05.201490.85 Кб927.0.pdf
#
20.05.201482.27 Кб828.0.pdf
#
20.05.201463.03 Кб829.0.pdf