Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / Новая папка / 28

28. Расчёт переходных процессов операторным методом. Представление сопротивлений, индуктивностей и ёмкостей. Представление независимых источников.

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ – с помощью преобразования Лапласа.

Определения.

Оригиналом называется функция переменной t (времени), имеющая следующие свойства:

1. f(t)=0, если t<0;

2. f (t) < Meσ 0t , σ 0 > 0, M > 0 ;

3.функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е. на каждом конечном интервале она имеет конечное число максимумов и минимумов и разрывов первого рода.

Сопоставим ей функцию комплексной переменной p=σ+jω, задаваемую формулой

(1):

функция F(p) называется изображением по Лапласу функции f(t).

Если функция f(t) удовлетворяет вышеперечисленным условиям, то интеграл (1)

∞

абсолютно сходится в области Rep=σ>σ0 (т.е. сходится интеграл ∫ e− pt f (t) dt ). В этой

0

области функция F(p) является аналитической функцией комплексного аргумента, т.е. в каждой точке она разлагается в степенной ряд.

Обозначения изображения по Лапласу:

обозначение:

L-1[F(p)]=f(t),

Уравнения электрических цепей в операторной форме.

1. Резистор.

где:

U(p) u(t), I(p) i(t),

т.о. операторное сопротивление резистора совпадает с его сопротивлением.

2. Индуктивность. Основное уравнение индуктивности имеет вид:

Эквивалентные схемы индуктивности показаны на рис. 2.

Эквивалентные схемы емкости показаны на рис. 3.

Рис. 3. Эквивалентные схемы емкости.

4. Источники ЭДС и тока, вообще говоря, зависящие от времени, представляются такими же источниками, номиналы которых равны изображениям по Лапласу функций исходных источников:

e(t) E(p), J(t) J(p).

В частности:

e(t)=E×1(t) E/p

Пример 1.

Рис. 4. R-C цепь

Разложим UC(p) на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

следовательно:

RC

следовательно:

− t

uC (t) = E(1 − e RC ) .

Пусть в схеме рис. 4 стоит синусоидальный источник: e(t)=Esin(ωt), его изображение имеет вид: E(p)=Eω/(p2+ω2).

Тогда:

Разложим UC(p) на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

следовательно:

Таким образом, в расчете операторным методом сразу получается и свободная составляющая – экспонента и принужденная составляющая – синусоида.