21. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Дифференциальные уравнения, начальные условия. Законы коммутации.
Коммутация – это какое-либо включение, выключение, переключение пассивных и активных ветвей и элементов схемы, приводящее к изменению конфигурации схемы или ее параметров. Предполагается, что коммутация совершается мгновенно (время коммутации равно нулю). Момент времени непосредственно до коммутации называется: 0- (“ минус ноль”, момент непосредственно после: 0+ (“ плюс ноль”).
Для схемы до коммутации и после коммутации характерны некоторые установившиеся режимы. В результате коммутации в схеме возникает некий режим перехода от установившегося процесса до коммутации к установившемуся процессу после коммутации. Это и есть переходный процесс. Теоретически длительность переходного процесса равна бесконечности, т.е. режим в цепи асимптотически приближается к установившемуся. Практически малым отличием режима от установившегося пренебрегают, и считают, что длительность переходного процесса конечна.
Законы коммутации.
1.В индуктивном элементе ток и магнитный поток в момент коммутации не изменяются, т.е.
iL (0+ ) = iL (0− ) |
(1) |
Ток индуктивности сразу после коммутации равен току индуктивности непосредственно перед коммутацией (то же для магнитных потоков). В переходном процессе ток индуктивности и ее магнитный поток изменяются, начиная с этого значения.
2. Напряжение емкостного элемента и его заряд в момент коммутации не изменяются.
UC (0+ ) = UC (0− ) (2)
Напряжение на емкости и ее электрический заряд сразу после коммутации равны напряжению на емкости и электрическому заряду непосредственно перед коммутацией. В переходном процессе напряжение на емкости и ее электрический заряд изменяются, начиная с этого значения.
Обоснование законов
U L = L |
diL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если в момент коммутации iL |
меняется скачком, |
то |
diL |
|
|
|
→ ∞ и, |
следовательно, |
||||
|
|
|
||||||||||
dt |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
U L (0) → ∞ из-за чего нарушается второй закон Кирхгофа, чего не может быть. |
||||||||||||
Аналогично. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ic = C |
duc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в момент коммутации U c |
меняется скачком, |
то |
|
duc |
|
|
|
→ ∞ и, |
следовательно, |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ic (0) → ∞ из-за чего нарушается первый закон Кирхгофа, чего не может быть.
Обоснование законов коммутации из закона сохранения энергии. Энергия магнитного поля индуктивности:
EL = L iL2
2
Энергия электрического поля емкости:
E |
|
= C |
U C2 |
, |
C |
|
|||
|
2 |
|
||
|
|
|
||
dE = P - мощность.
dt
P |
= Li |
|
diL |
, |
P = CU |
|
dU C |
, если i |
|
или U |
|
меняются скачком, то соответствующая |
|
|
|
|
C |
||||||||
L |
|
L |
dt |
C |
C dt |
L |
|
|
||||
мощность PL |
и PC стремятся к ∞ , следовательно, для скачкообразного изменения iL или |
|||||||||||
U C |
схему надо подключить к источнику питания бесконечной мощности, чего быть не |
|||||||||||
может. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сформулированные законы коммутации не являются универсальными: существуют |
|||||||||||
схемы, для которых они не выполняются. Эти схемы называются некорректными, для их расчета существуют специальные методы.
Значения в начальный момент времени токов индуктивностей iL (0+ ) и напряжений на ёмкостях U C (0+ ) называются независимыми начальными условиями. Значения других величин в начальный момент времени ir (0+ ) , U r (0+ ) , U L (0+ ) , iC (0+ ) называются
зависимыми начальными условиями, они могут изменяться скачком в момент коммутации и определяются по независимым начальным условиям с помощью первого и второго закона Кирхгофа.
Зависимость токов и напряжений в схеме от времени представляем в виде суммы
двух составляющих: принужденной и свободной: |
|
i(t) = iпр (t) + iсв (t) , U (t) = U пр (t) + U св (t) . |
(3) |
Принужденная составляющая описывает установившийся режим цепи после коммутации, она определяется свойствами цепи и источника питания. Если источник постоянный, то установившийся режим постоянный и принужденная составляющая постоянная. Если источник периодический, то установившийся режим и принужденная составляющая - периодические.
Свободная составляющая отражает зависимость переходного процесса от свойств цепи – конфигурации и параметров.
Математически переходный процесс в линейной схеме описывается линейным обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами n-ого порядка, где n число индуктивностей и емкостей в схеме, т.е. элементов, накапливающих энергию, источники напряжения и тока входят в правую часть этого ОДУ. Принужденная составляющая является частным решением неоднородного ОДУ, свободная составляющая
– общим решением однородного ОДУ. Для ОДУ n-ого порядка требуется n начальных условий. Они могут быть получены из n независимых условий: токов индуктивностей и напряжений емкостей в момент коммутации.
Метод расчета переходных процессов в линейных цепях состоящий в поиске решения ОДУ n-ого порядка называется классическим методом расчета переходных процессов. При этом само ОДУ в явном виде не записывается.