Домашнее задание

1. Пусть матрица . Рассматривается система . Проверить, что однородная сопряженная система имеет не нулевые решения. Для , при котором система имеет решение, описать все решения и среди них выделить нормальное решение. Для , при котором система не имеет решения, описать все псевдорешения и среди них выделить нормальное псевдорешение. Записать пседообратную матрицу.

2. Пусть матрица . Рассматривается система . Проверить, что однородная сопряженная система имеет не нулевые решения. Для , при котором система имеет решение, описать все решения и среди них выделить нормальное решение. Для , при котором система не имеет решения, описать все псевдорешения и среди них выделить нормальное псевдорешение. Записать пседообратную матрицу.

Занятие 4

LU-разложения матрицы

План занятия

1. Повторение теоретического материала

2. Подробное решение типоой задачи

3. Самостоятельное решение задач

4. Получение домашнего задания

Типовая задача

Для матрицы получить -разложение, где - нижняя треугольная матрица, а - верхняя треугольная матрица.

Решение

Такое разложение возможно для квадратной матрицы порядка , если все ведущие миноры порядков …, отличны от нуля. В нашем случае

.

Если - элементы матрицы , а - элементы матрицы , то Справедливы формулы

.

Если , то Таким образом искомое разложение имеет вид

Простым перемножением убеждаемся в справедливости полученного разложения.

Задачи для самостоятельного решения

1. Для матрицы получить -разложение.

2. Для матрицы получить -разложение.

Домашнее задание

1. Для матрицы получить -разложение.

2. Для матрицы получить -разложение.

Занятие 5

QR-разложение матрицы

План занятия

1. Повторение теоретического материала

2. Подробное решение типовой задачи

3. Самостоятельное решение задач

4. Получение домашнего задания

Типовая задача

Для матрицы получить -разложение, где - унитарная (ортогональная) матрица, а - верхняя треугольная матрица.

Решение

Ортогональная матрица второго порядка имеет вид

.

Вычислим произведение

Потребуем, чтобы . Можно положить . Тогда

,

Так как , то полагаем и получаем искомое разложение

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Для матрицы получить -разложение.

2. Для матрицы получить -разложение.

Домашнее задание

1. Для матрицы получить -разложение.

2. Для матрицы получить -разложение.

Занятие 6

Сингулярное и полярное разложения матрицы

План занятия

1. Повторение теоретического материала

2. Подробное решение типовой задачи

3. Самостоятельное решение задач

4. Получение домашнего задания

Типовая задача

Для матрицы найти сингулярные числа и получить сингулярное и полярное разложения.

Решение

Сингулярные числа матрицы - это квадратные корни из собственных значений матрицы

Таким образом, сингулярные числа равны . Сингулярное разложение матрицы имеет вид , где - ортогональные матрицы,

- диагональная матрица с сингулярными числами на главной диагонали. Матрицы строятся с помощью сингулярных базисов. Матрица - симметричная и у нее существует ортонормированный базис из собственных векторов. В нашем случае это Он образует первый сингулярный базис. Второй сингулярный ортонормированный базис образуют векторы

Столбцы матрицы образуют координаты второго сингулярного базиса, а столбцы матрицы - первого сингулярного базиса. Имеем

,

Поэтому сингулярное разложение матрицы имеет вид

Полярное разложение матрицы - это ее представление в виде произведения , где - эрмитова (симметричная) матрица, а - ортогональная матрица. Его можно получить из сингулярного разложения: Итак, полярное разложение имеет вид

Задачи для самостоятельного решения

1. Для матрицы найти сингулярные числа и получить сингулярное и полярное разложения.

2. Для матрицы найти сингулярные числа и получить сингулярное и полярное разложения.

Домашнее задание

1. Для матрицы найти сингулярные числа и получить сингулярное и полярное разложения.

Занятие 7

Возмущения СЛАУ. Число обусловленности

План занятия

1. Повторение теоретического материала

2. Подробное решение типовой задачи

3. Самостоятельное решение задач

4. Получение домашнего задания

Типовая задача

Для матрицы найти число обусловленности, используя евклидову, спектральную, 1- норму и -норму матрицы.

Решение

Для матрицы евклидова норма вычисляется по формуле

, спектральная норма - набольшее сингулярное число, 1-норма вычисляется по формуле , -норма вычисляется по формуле . Число обусловленности матрицы равно произведению норм матрицы и ее обратной матрицы. Легко убедиться, что

,

поэтому , , и , . Матрица

Ее собственные значения являются корнями уравнения

.

Они равны , поэтому наибольшее сингулярное число матрицы . Аналогично

.

Отсюда и - это наименьшее число обусловленности.

Задачи для самостоятельного решения

1. Для матрицы найти число обусловленности, используя евклидову, спектральную, 1- норму и -норму матрицы.

2. Для матрицы найти число обусловленности, используя евклидову, спектральную, 1- норму и -норму матрицы.

Домашнее задание

1. Для матрицы найти число обусловленности, используя евклидову, спектральную, 1- норму и -норму матрицы.

2. Для матрицы найти число обусловленности, используя евклидову, спектральную, 1- норму и -норму матрицы.

Занятие 8

Алгоритм Евклида

План занятия

1. Повторение теоретического материала

2. Подробное решение типовой задачи

3. Самостоятельное решение задач

4. Получение домашнего задания

Типовая задача

Найти наибольший общий делитель чисел и и его представление в форме

, (1)

если

Решение

Используя вычислительную схему алгоритма Евклида, получаем следующую таблицу:

						Деление
4752	420	1	0	0	1	4752=11 420+132	11
420	132	0	1	1	-11	420=3 132+24	3
132	24	1	-11	-3	34	420=5 24+12	5
24	12	-3	34	16	-181	24=2 12	конец

Последнее значение переменной и есть наибольший общий делитель:

(4752, 420)=12,

и представление его в форме (1) имеет вид

12=16 4752+ (-181) 420.

Задачи для самостоятельного решения

Найти наибольший общий делитель чисел и и его представление в форме

,

если

1) , 2)

Домашнее задание

Найти наибольший общий делитель чисел и и его представление в форме

,

если

1) , 2)

Занятие 9

Обратные элементы в

План занятия

1. Повторение теоретического материала

2. Подробное решение типовой задачи

3. Самостоятельное решение задач

4. Получение домашнего задания

Типовая задача

В поле найти элемент, обратный к 52.

Решение

Число 569 – простое, поэтому для любого от 1 до 568 ( , 569)=1. Найдя с помощью вычислительной схемы алгоритма Евклида представление

1= 569+ ,

Получим, согласно определению операций в поле , что =1, то есть . Вычисления сведены в таблицу:

						Деление
569	52	1	0	0	1	569=10 52+49	10
52	49	0	1	1	-10	52=1 49+3	1
49	3	1	-10	-1	11	49=16 3+1	16
3	1	-1	11	17	-186	3=3 1	конец

1=17 569+ (-186) 52,

Задачи для самостоятельного решения

1. В поле найти элемент, обратный к 123.

2. В поле найти элемент, обратный к 100.

Домашнее задание

1. В поле найти элемент, обратный к 102.

2. В поле найти элемент, обратный к 23.

Занятие 10

Алгоритм Евклида в F[x]

План занятия

1. Повторение теоретического материала

2. Подробное решение типовой задачи

3. Самостоятельное решение задач

4. Получение домашнего задания

Типовая задача

Найти наибольший общий делитель многочленов и из кольца и его представление в форме

, ,

если ,

Решение

Так как правила сложения и умножения для многочленов те же самые, что и для целых чисел (аксиомы кольца), решение этой задачи ничем не отличается от предыдущей.

Начальная установка:

m(х) = х⁴ - зх² - 4, n(х) = х^З + х² + 4 ,

(х) = , v(x) = , = , = 1.

Деление:

х⁴ - зх² - 4 = (х - 1) . (х^З + х² + 4) - 2х² - 4х, q(x) = х - 1.

Пересчет 6 величин:

m(х) = х^З + х² + 4, n(х) = -2х² - 4х , = , v( )=1, =1, =-x+1.

Заметим, что по определению наибольшего общего делителя многочленов его старший коэффициент равен единице. Поэтому, если многочлены умножать на константы (элементы основного поля, в данном примере поля Q рациональных чисел), то их наи- больший общий делитель не меняется. Например, в нашем случае

На основании этого изменим вычислительную схему следующим образом: при появлении остатка, старший коэффициент кото- рого не равен 1, при пересчете на следующий шаг разделим оста- ток на старший коэффициент. Очевидно, что при этом на то же число надо разделить многочлены и .

С учетом этого замечания, продолжим вычисления со следующими 6 многочленами:

, ,

(Многочлены n( х), , поделены на -2.) Деление:

+ х² + 4 = (х - 1) . (х² + 2х) + 2х + 4, q(x) = х - 1.

Пересчет 6 величин:

,

Деление на старший коэффициент:

,

При следующем делении х² +2х = х(х+2) получаем нулевой остаток. Следовательно,

Задачи для самостоятельного решения

Найти наибольший общий делитель многочленов и из кольца и его представление в форме

, ,

если

1) , , 2) , .

Домашнее задание

Найти наибольший общий делитель многочленов и из кольца и его представление в форме

, ,

если

1) , , 2) , .

Занятие 11

Неприводимые многочлены в

План занятия

1. Повторение теоретического материала

2. Подробное решение типовой задачи

3. Самостоятельное решение задач

4. Получение домашнего задания

Типовая задача

В кольце многочленов найти все неприводимые многочлены третьей степени.

Решение

Элементы поля будем обозначать , так как . Многочлен 3-й степени имеет вид

,

где и Так как многочлены, полу- чающиеся один из другого умножением на не нулевую константу (то есть на -1), естественно не различать, то будем считать, что . Если , то многочлен разложим

поэтому .

Итак, будем далее рассматривать многочлены вида

(2)

Нетрудно подсчитать, что таких многочленов 18 штук. Чтобы выбрать среди них неприводимые, заметим, что если многочлен 3-й степени приводим, то он представляется в виде произведения многочленов 1-й и 2-й степени:

.

в этом случае число будет корнем многочлена. Обратно, если многочлен 3-й степени имеет корень в поле , то он по теореме Безу делится на и, следовательно, приводим. Таким образом, из 18 многочленов вида (2) надо отбросить те, ко- торые имеют корень в поле . Так как , то не является корнем этих многочленов и будем далее проверять только ±1. Разделим многочленов на два класса: с и с .

1. . (3)

Для многочленов вида (3), имеющих корень , имеем

или

Этому условию удовлетворяют следующие пары :

(4)

Для многочленов вида (3), имеющих корень , имеем

или

Этому условию удовлетворяют следующие пары :

(5)

2. (6)

Для многочленов вида (6), имеющих корень , имеем

или

Этому условию удовлетворяют следующие пары :

(7)

Для многочленов вида (6), имеющих корень , имеем

или

Этому условию удовлетворяют следующие пары :

(8)

Отбрасывая многочлены, коэффициенты которых встречаются в списках (4), (5) и (7), (8), получаем следующие неприводимых многочленов

,

Задачи для самостоятельного решения

1. В кольце многочленов найти все неприводимые многочлены второй степени.

2. В кольце многочленов найти все неприводимые многочлены второй степени, имеющие вид .

Домашнее задание

1. В кольце многочленов найти все неприводимые многочлены пятой степени.

2. В кольце многочленов найти все неприводимые многочлены четвертой степени, имеющие вид .

Занятия 12, 13

Алгебраическая структура конечного поля

План занятия

1. Повторение теоретического материала

2. Подробное решение типовой задачи

3. Самостоятельное решение задач

4. Получение домашнего задания

Типовая задача

Для поля 1) найти примитивный элемент и записать все элементы как степени примитивного; 2) определить мультипликативные порядки всех элементов; 3) найти для каждого элемента его минимальный многочлен; 4) решить систему

Решение

Поле состоит из 25 элементов вида , где и - элементы . Эти элементы складываются и умножаются как многочлены от , при умножении заменяется на .

1) Согласно главной структурной теореме в каждом конечном поле имеется примитивный элемент, степени которого дают все ненулевые элементы поля. Этот элемент, таким образом, имеет мультипликативный порядок, равный 24; наоборот, любой элемент 24-го порядка является примитивным. Порядки остальных элементов являются делителями 24, то есть могут равняться 1,2,3,4,6,8 или 12.

Элемент , при помощи которого построено поле, примигивным не является, так как

Отсюда следует, что - элемент 8-го порядка.

Эффективного способа отыскания в конечном поле примитивного элемента не известно. Приходится перебирать элементы, выясняя их порядок. Рассмотрим, например, элемент . Имеем

то есть Пусть порядок Так как , то то есть - примитивный элемент. В таблице ненулевые элементы выражены как степени .

2) Порядок элемента равен . Отсюда находим

элементы 1-го порядка: ;

элементы 2-го порядка: ;

элементы 3-го порядка: ;

элементы 4-го порядка: ;

элементы 6-го порядка: ;

элементы 8-го порядка: ;

элементы 12-го порядка: ;

элементы 24-го порядка: .

3) Минимальным многочленом элемента конечного поля характеристики р называется многочлен наименьшей степени , корнем которого является данный элемент. Если поле с стоит из элементов, то все элементы поля являются корня ми многочлена . Отсюда следует, что минимальные многочлены - это неприводимые множители многочлена .

Для решения задачи используются два факта из теории:

1. Степени веприводимых делителей многочлена являются делителями числа n;

2. Если элемент является корнем многочлена , то элемент также является корнем многочлена ).

В данной задаче n = 2, поэтому все минимальные многочлены имеют первую или вторую степень; р = 5, поэтому, если элемент является корнем многочлена, то и пятая степень элемента также является корнем того же многочлена.

Для элементов -2, -1, 0,1,2, входящих в простое подполе , минимальными многочленами будут многочлены 1-й степени х + 2, х + 1, х, х - 1, х - 2, соответственно. Для остальных 20 элементов минимальные многочлены имеют вторую степень и могут быть вычислены следующим образом. Пусть требуется найти минимальный многочлен элемента . Вторым корнем этого многочлена будет , отсюда по формулам Виета

Для вычислений используем таблицу нашего поля из решения 1). Например, для отыскания минимального многочлена элемента действуем так. Вторым корнем минимального многочлена является . По таблице находим

Следовательно, минимальный многочлен равен Вычисления сведем в таблицу.

4) Решить систему

Найдем решение по правилу Крамера, используя для вычи­слений таблицу поля , построенную выше при решении пункта 1).

Имеем

Чтобы выполнить деление, представим операнды как степени

примитивного элемента :