2. Характеристика поля

Из аксиом 1-9 следует, что в любом поле есть 1, следовательно, есть и такие элементы

(1)

Обозначим их . Можно заметить, что операции над этими элементами производятся совершенно так же, как над их целочисленными обозначениями, Например, или .

Логически имеются две возможности: либо все такие элементы различны, либо среди них есть совпадающие. В первом случае поле бесконечно, и продолжал построение, можно убедиться, что , где – поле рациональных чисел. В этом случае говорят, что поле имеет характеристику 0. Нас будут интересовать конечные поля и для них рассмотренный случай невозможен, то есть среди чисел (1) есть совпадающие:

.

Прибавим к обеим частям этого равенства элемент . Такой элемент существует согласно аксиоме 4, нетрудно доказать, что он равен сумме "минус единиц" (минус единица – это такой элемент ноля, что ). Получим .

Таким образом, в конечном поле сумма некоторого числа единиц равна нулю. Обозначим через наименьшее положительное число, такое что сумма единиц равна 0. Тогда – простое число, иначе, если , то произведение суммы единиц на сумму единиц будет равно нулю, и либо сумма единиц, либо сумма единиц равна 0, что противоречит выбору .

Число называется характеристикой ноля.

Итак, каждое поле либо имеет характеристику 0, либо характеристику , где – простое число. В случае поля характеристики в нем имеются элементы , которые, как мы видели выше, сами образуют поле . Так как

,

то называют простым подполем поля , а про говорят, что оно является расширением .

3. Алгоритм Евклида

Для двух целых чисел и будем обозначать символом тот факт, что число делит нацело число , то есть что существует целое число , такое, что . Напомним, что наибольшим общим делителем двух целых чисел и b называется положительное целое число , такое что

1. и ;

2. если и , то .

Наибольший общий делитель чисел и обозначается :

.

Теорема 1 .Если , то существуют целые числа и , такие что

. (2)

Доказательство. Рассмотрим всю совокупность чисел вида ( и – целые). Пусть – наименьшее положительное число в этой совокупности. Проверим, что число удовлетворяет условиям 1) и 2) определения наибольшего общего делителя. Произведем деление

.

Число также оказывается принадлежащим рассматриваемой совокупности чисел:

.

Так как , a – минимальное положительное число вида , то . Аналогично убеждаемся, что . Условие 2) непосредственно следует из представления в виде (2).

Вычислительная схема алгоритма Евклида

Алгоритм Евклида отыскания наибольшего общего делителя целых чисел и основан на следующем простом соображении: если последовательно делить

и так далее, то . Так как при этом числа, у которых разыскивается наибольший общий делитель, уменьшаются, то процесс заканчивается нахождением .

В книге [6] намеченная выше схема оформлена в виде удобной для программирования процедуры, позволяющей не только вычислить наибольший общий делитель, но и найти числа и из представления (2). Процедура состоит из циклически повторяющихся шагов, на каждом шаге пересчитываются 6 чисел: , , , , и : у первых двух ищется общий делитель, а остальные таковы, что на каждом шаге выполняются соотношения

Описание процедуры

1. Начало. Положить , , , , , .

2. Циклический шаг. Поделить на :

.

Если , процедура заканчивается: . При положить , , , , , и повторить цикл.

Формулы пересчета основываются на том, что если и , то после деления

.

Пример. Найти (27 456, 7007).

Вычисления удобно оформить в виде табл. 1.

Таблица 1

Вычисление (27 456, 7007)

						Деление
27456	7007	1	0	0	1		3
7007	6435	0	1	1	–3		1
6435	572	1	–3	–1	4		11
572	143	–1	4	12	–47		конец

Последнее значение переменной и есть наибольший общий делитель:

,

и представление его в форме (2.1) имеет вид

.

Продолжение примера 2, проверка аксиомы 8 для .

Два числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Простое число обладает тем свойством по отношению к любому целому числу , что либо , либо взаимно просто с . Пусть и . Так как простое, то , значит, имеет место представление (2)

.

(Числа и можно найти при помощи рассмотренной выше процедуры). Из этого представления следует, что : действительно, если умножить на и затем привести результат по модулю (добавляя кратное число ), то получится 1. Итак, – поле.

Оказывается, что любое поле либо содержит , либо содержит поле дробей .