3. Возмущения слау. Число обусловленности

Предположим, что для невырожденной матрицы решается СЛАУ . Рассмотрим возмущенную систему Если выполнено условие (4), исходная система и возмущенная система будут иметь единственные решения и . Оценим их разность. Введем обозначения для относительных возмущений и

, .

Имеем

,

Отсюда находим

и

Так как то

.

Согласно принятым обозначениям это означает, что

.

Полученное неравенство опять показывает важность числа обусловленности, и с точки зрения устойчивости важно, чтобы оно было не слишком большим.

Лекция 8 Кольцо и поле. Делители нуля. Характеристика поля. Алгоритм Евклида. Число элементов конечного поля

1. Кольцо и поле. Делители нуля

Поле было определено в лекции 1. Напомним это определение более подробно. Полем называется множество , на котором определены две операции: сложение и умножение. Эти операции должны быть определены так, чтобы выполнялись следующие аксиомы поля.

1. Для любых , и из .

2. Для любых и из .

3. В имеется элемент, обозначаемый 0, такой что для всех .

4. Для каждого элемента существует элемент, обозначаемый , такой что .

5. Для любых , и из .

6. Для любых и из .

7. Имеется элемент, обозначаемый 1, такой, что для любого .

8. Требуется, чтобы элемент 1 не совпадал с элементом 0. Это требование исключает тривиальный случай, когда состоит из одного нуля.

9. Для каждого элемента , не равного 0, существует элемент, обозначаемый , такой что .

10. Для любых , и из .

Если из этого списка убрать аксиому 8, получится определение кольца, точнее коммутативного кольца с единицей. Других колец мы не рассматриваем. Напомним, что в кольце могут быть делители нуля, то есть такие ненулевые элементы , для которых .

Примеры полей

Пример 1. – поле рациональных чисел. С этим полем знаком каждый школьник младших классов, освоивший действия с дробями. Изучая далее алгебру, школьник знакомится фактически с различными следствиями из аксиом 1-9. Так, например, формула

или формула для суммы арифметической или геометрической прогрессии являются следствиями из аксиом 1-9 и, поэтому остаются верными в любых системах, удовлетворяющих 1-9, то есть в любых полях. Далее будут рассмотрены необычные примеры полей и важно понимать, что все известные факты элементарной математики, полученные для поля , можно без изменения использовать в этих полях, так как единственное что нужно для справедливости этих фактов – это свойства 1-9.

Пример 2. .

Пусть – простое число. Элементами являются всевозможные остатки от деления на . Операции сложения и умножения определяются следующим образом: чтобы найти результат операции, проделываем ее по обычным правилам действий с целыми числами, а затем результат "приводим по модулю ", то есть находим остаток от деления результата на число . Это обозначается приписыванием примечания ( ) после выполнения операций. Например,

.

Справедливость свойств 1-7 и свойства 9 при таком определении операций сложения и умножения прямо следует из того факта, что эти свойства имеют место при операциях над целыми числами. Например, выполняя операции в левой и правой частях аксиомы 9 мы получим одно и то же целое число. Вычисляя его остаток от деления на , мы придем к одному и тому же результату в левой и правой частях равенства 9. Что касается аксиомы 8, то здесь, в известном смысле, заключается главный момент всей теории. Проверка этой аксиомы основана на алгоритме Евклида отыскания наибольшего общего делителя. В связи с этим рассмотрим его несколько позже.