Лекция 6 Сингулярные числа матрицы. Сингулярное разложение матрицы. Полярное разложение матрицы
1. Свойства матриц и
Теорема 1. Матрицы и эрмитовы, имеют неотрицательные главные миноры, неотрицательные и совпадающие собственные значения.
Доказательство. Эрмитовость матриц и очевидна. По формулам Бине – Коши
.
Аналогичное
равенство верно и для матрицы
.
Если
собственное
значение, а
собственный
вектор матрицы
,
то
поэтому
Аналогично для матрицы
.
Остается заметить, что характеристические
многочлены матриц
и
одинаковые. Теорема доказана.
2. Сингулярные числа матрицы
Арифметические
значения квадратных корней из общих
собственных значений матриц
и
называются
сингулярными
(главными) числами
матрицы
.
Всюду в дальнейшем будем обозначать
ненулевые сингулярные числа матрицы
через
и предполагать, что они занумерованы в
порядке убывания, т.е.
.
Сингулярные числа
будем
считать нулевыми.
У эрмитовой матрицы
существует ортонормированный базис из
собственных векторов. Обозначим его
Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:
1)
система векторов
является ортогональной;
2)
ненулевой вектор
является
собственным вектором матрицы
и
соответствует собственному значению
;
3)
для всех
выполняется
равенство
.
Доказательство. Рассмотрим кратко каждое из положений. Пусть
для всех . Имеем
Предположим,
что
.
Тогда
И, наконец,
Теорема доказана.
Теорема
3. Всегда
существуют ортонормированные системы
векторов
и
такие,
что
Доказательство.
Выберем в
пространстве
в
качестве ортонормированного базиса
систему
собственных
векторов матрицы
.
Будем считать, что сингулярные числа
упорядочены следующим образом:
Согласно теореме 2 система векторов
является
ортонормированной системой собственных
векторов матрицы
для
.
Дополним ее до ортонормированного
базиса системой векторов
,
представляющих собственные векторы
матрицы
,
соответствующие нулевому собственному
значению. По построению
для
и
для
.
Кроме этого,
,
поэтому
для
.
Отсюда
Теорема доказана.
Ортонормированные базисы и , построенные в теореме 3 называются сингулярными базисами матрицы .
3. Сингулярное разложение матрицы
Теорема
4. Какова бы
ни была комплексная матрица
всегда существует разложение
,
где
-
унитарные матрицы,
-
диагональная матрица с невозрастающими
неотрицательными элементами на диагонали.
Доказательство.
Обозначим
через
диагональную матрицу, на диагонали
которой стоят числа
,
через
-
квадратную матрицу, столбцы которой
составлены из координат векторов
в естественном базисе, через
-
квадратную матрицу, столбцы которой
составлены из координат векторов
в естественном базисе. Соотношения из
теоремы 3, записанные в матричном виде,
означают, что
Матрицы
и
являются
унитарными. Поэтому
и матрица
также
унитарная. Умножая первое равенство
справа на матрицу
,
получаем требуемое разложение матрицы
.
Полученное разложение называется сингулярным разложением матрицы .
Если задано сингулярное разложение матрицы , то
1) диагональные элементы матрицы являются сингулярными числами матрицы ;
2) столбцы матрицы образуют ортонормированный базис из собственных векторов матрицы ;
3) столбцы матрицы образуют ортонормированный базис из собственных векторов матрицы ;
4)
столбцы матриц
образуют
в совокупности сингулярные базисы
матрицы
.