Лекция 4 lu-разложение матрицы

1. Матрицы преобразований

Наша цель – выяснить какие матрицы можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы и верхней треугольной матрицы. Такое разложение будем называть -разложением: . Разложение будем осуществлять с помощью умножения матрицы слева на некоторые простейшие матрицы. В качестве таких матриц будем использовать -матрицы – это почти единичные матрицы, у которых единственный не нулевой вне диагональный элемент ( ). Если , то это будут нижние треугольные матрицы. Их произведение также будет нижней треугольной матрицей.

Отметим следующие проверяемые непосредственными вычислениями свойства этих матриц:

1)

2) При умножении матрицы на нижнюю треугольную матрицу к -ой строке матрицы прибавляется -я строка, умноженная на .

3) При умножении матрицы на нижнюю треугольную матрицу ведущие миноры матрицы не меняются.

Ведущие миноры – это миноры вида

элементы которых расположены на пересечении первых строк и столбцов.

2. LU-разложение матрицы

Теорема. Любую квадратную матрицу порядка , у которой отличны от нуля ведущие миноры всех порядков от 1 до , можно представить в виде произведения левой треугольной матрицы на правую треугольную матрицу .

Доказательство. Пусть у квадратной матрицы порядка отличны от нуля ведущие миноры всех порядков от 1 до . По этому условию отличен от нуля элемент в позиции (1,1). Умножая матрицу слева на матрицы , сделаем нулевыми элементы в позициях . Все ведущие миноры при этом не изменятся. Продолжая этот процесс приведем матрицу к верхней треугольной матрице . Умножая матрицу слева на обратные к матрицам ,…, получим искомое представление. Если зафиксировать диагональные элементы у матрицы , то это представление будет единственным.

Можно указать явный вид матриц и . Если

то

,

где

.

Лекция 5 Матрицы вращений и матрицы отражений. Qr-разложение матрицы

1. Матрицы вращений

Вещественные или комплексные матрицы, отличающиеся от единичной матрицы четырьмя элементами, расположенными на пересечении строк и столбцов с номерами , и имеющими вид

где

,

Называются матрицами вращения (простого поворота, Гивенса).

Комплексная матрица вращения является унитарной, вещественная - ортогональной. При умножении вектора на матрицу меняются только -я и -я координаты вектора. Если -я координата вектора есть , а -я координата есть , то существует унитарная матрица вращения вида

,

для которой у произведения -я координата равна , а -я координата равна нулю.

2. Матрицы отражений

Пусть - произвольный комплексный или вещественный вектор-столбец единичной длины, то есть ( Матрица называется матрицей отражения или матрицей Хаусхолдера. Отметим ее свойства:

1) Рассмотрим гиперплоскость с нормальным вектором . Если принадлежит гиперплоскости, то

Поэтому у матрицы есть собственное значение кратности , а гиперплоскость – собственное подпространство размерности . Далее

Поэтому у матрицы есть собственное значение кратности , а – собственный вектор.

2) Комплексная матрица отражений является эрмитовой и унитарной:

3) Пусть заданы любые ненулевые векторы . Может существовать только единственный, с точностью до множителя , по модулю равного 1, вектор единичной длины такой, что определяемая им матрица отражения переводит вектор в вектор для некоторого числа . В качестве вектора можно взять следующий вектор

4) Пусть в векторе первые координат нулевые. Тогда при умножении матрицы слева (справа) на матрицу отражения, порожденную данным вектором , не изменяются первые строк (столбцов).

5) Предположим, что первые координат векторов и нулевые. Тогда в векторе , построенном в соответствии с 3), первые координат будут также нулевыми.

3. QR-разложение матрицы

Теперь, умножая исходную матрицу слева и/или справа на матрицы вращения или отражения, мы можем строить самые различные методы исключения, постоянно увеличивая в матрице число нулевых элементов. Рассмотрим более подробно процессы с левосторонними умножениями на матрицы вращения.

Предположим, что при умножении слева на матрицу вращения исключается элемент в позиции и пары индексов перебираются в циклическом порядке. После прохождения любой из циклических последовательностей все поддиагональные элементы станут нулевыми. Итак, любую комплексную (вещественную) квадратную матрицу можно представить в виде произведения , где - унитарная (ортогональная) матрица, - комплексная (вещественная) правая треугольная. Такое разложение называется -разложением матрицы . - разложение невырожденной матрицы единственно, если зафиксировать аргументы диагональных элементов матрицы как аргументы комплексных чисел.

Для комплексной (вещественной) матрицы из - разложения матрицы имеет место равенство

Действительно, пусть для комплексной (вещественной) матрицы известно - разложение . Так как матрица унитарная (ортогональная), то согласно определению выполняется равенство ( Следовательно,