Лекция 3 Нормальное решение, псевдорешение слау. Псевдообратная матрица

1. Нормальное решение слау

Пусть квадратная матрица порядка с действительными элементами. Рассмотрим систему у которой Предположим, что система разрешима. Тогда она имеет бесконечно много решений и общее решение имеет вид

где частное решение неоднородной системы, а .

Решение с минимальной евклидовой нормой называется нормальным решением. Нахождение нормального решения сводится к поиску элемента подпространства , ближайшего к относительно евклидовой нормы. Эта задача известна как задача о наилучшем приближении подпространством:

Величина называется величиной наилучшего приближения, элементом наилучшего приближения. Нормальное решение будет иметь вид . Покажем, что нормальное решение единственно и укажем его характеристическое свойство.

Теорема 1. Элемент наилучшего приближения существует, единственен и характеризуется свойством: ( ).

Доказательство. Достаточность. Пусть , . Тогда по свойствам скалярного произведения

Отсюда вытекает, что элемент наилучшего приближения и, что он единственен. Необходимость. Пусть элемент наилучшего приближения,

Тогда для

Отсюда Теорема доказана.

Из теоремы 1 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2. Нормальное решение существует, единственно и характеризуется свойством

Отметим, что согласно предыдущей лекции, нормальное решение и только оно, принадлежит образу сопряженного оператора

2. Псевдорешение слау

Рассмотрим теперь ситуацию, когда система не имеет решения. Вектор называется невязкой вектора . Псевдорешением или обобщенным решением системы называется решение системы Последняя система всегда разрешима, так как

Какими свойствами обладают невязки псевдорешений?

Теорема 3. Невязки псевдорешений ортогональны образу оператора . Они имеют минимальную евклидову длину.

Доказательство. Для невязки псевдорешения выполнено равенство , поэтому и Когда невязка , имеет минимальную евклидову длину? Так как подпространство, то по теореме 1 это будет в том случае, когда Но этим свойством обладают псевдорешения. Теорема доказана.

Нормальное решение системы называется нормальным псевдорешением. Отметим свойства нормального псевдорешения:

1) Среди всех псевдорешений нормальное псевдорешение имеет минимальную длину.

2) Нормальное псевдорешение ортогонально ядру оператора

3) Нормальное псевдорешение принадлежит образу оператора

3. Псевдообратная матрица

Каждому мы можем поставить в соответствие единственный элемент нормальное псевдорешение. Тем самым мы имеем отображение . Это отображение называется псевдообратным оператором.

Теорема 4. Псевдообратный оператор линейный.

Доказательство. Нормальное псевдорешение по теореме 2 характеризуется тем, что . Если нормальные псевдорешения для правых частей , то . Тогда для ,

псевдорешение для правой части , потому нормальное псевдорешение. Теорема доказана.

Матрица псевдообратного оператора называется псевдообратной матрицей. Буде ее также обозначать . Нормальное псевдорешение для уравнения запишется так

Можно доказать следующие свойства псевдообратной матрицы:

1) = , для некоторых матриц

2) , ,

3) Матрица является решением матричного уравнения и среди всех решений имеет минимальный ранг.

4) Если невырожденная, то