3) 4) Наибольшее сингулярное число

Наибольшее сингулярное число – это квадратный корень из наибольшего собственного значения матрицы или . Равенство 4) будет доказано в лекции 6.

Лекция 2 Теория Фредгольма для систем линейных алгебраических уравнений (слау)

1. Ядро дефект и образ матрицы

Пусть или - арифметическое пространство - квадратная матрица порядка . Множество векторов , для которых , называется ядром матрицы и обозначается . Размерность ядра матрицы иногда называется ее дефектом. Множество векторов , для которых хотя бы для одного вектора , называется образом матрицы и обозначается .

Ядро и образ матрицы являются подпространствами . Размерность образа равна рангу : , размерность ядра

Если в ввести обычное скалярное произведение, то справедливо утверждение.

Теорема. Для любой матрицы выполняются следующие соотношения:

Доказательство. Для любых векторов выполняется равенство . Если , то и тогда для любого вектора . Поэтому вектор будет ортогонален всем векторам вида , т.е. . Верно и обратное утверждение. Следовательно, . Отсюда, заменив матрицу матрицей , получаем равенство . Заменив матрицу матрицами и , получаем другие равенства Возьмем теперь любой вектор , т.е. для него . Поэтому для любого вектора должно выполняться равенство или . Полагая , получим , то есть . Верно и обратное утверждение. Следовательно, имеет место равенство Отсюда, заменив матрицу матрицей , получаем равенство Теперь, принимая во внимание ранее выведенные соотношения, находим, что Аналогично, . Из полученных соотношений вытекают необходимые разложения пространства . Теорема доказана.

2. Альтернатива и теорема Фредгольма

С системой можно связать однородную систему и две сопряженные системы , . Исследование первой системы зависит от свойств других систем. Связь между системой и ее однородной системой уже известна. Система имеет единственное решение для любой правой части тогда и только тогда, когда однородная система имеет только нулевое решение. Если однородная система имеет не нулевые решения, она не позволяет выяснить, для каких правых частей разрешима неоднородная система. Необходимо привлекать однородную сопряженную систему.

Альтернатива Фредгольма. Или неоднородная система всегда имеет, и притом единственное, решение при любой правой части, или сопряженная однородная система имеет по крайней мере одно ненулевое решение.

Доказательство. Допустим, что система имеет решение при любом векторе . По предыдущей теореме это означает, что состоит только из нулевого вектора. Поэтому совпадает со всем пространством . Единственность решения очевидна.

Теорема Фредгольма. Для того чтобы неоднородная система была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы правая часть была ортогональна ко всем решениям сопряженной однородной системы.

Доказательство. Пусть система линейных алгебраических уравнений разрешима. Обозначим через любое решение однородной сопряженной системы . Отсюда , то есть . Обратно, если , то по предыдущей теореме . Теорема доказана.