Пример. , .
В
этом случае примитивным корнем
-й
степени из единицы является примитивный
элемент
поля
,
.
Для выполнения арифметических операций
в этом поле, предусмотренных в алгоритме
декодирования, будем пользоваться табл.
3, выражающей элементы поля в виде
степеней примитивного (таблица
логарифмов).
Таблица 3
Поле , .
-
Степень
Элемент поля
Степень
Элемент поля
0
1
8
1
9
2
10
3
11
4
12
5
13
6
14
7
Элемент
,
как следует из определения поля, является
корнем многочлена
,
минимальным многочленом для элемента
является многочлен
.
(Последнее
вытекает из того, что
– элемент 5-го порядка, то есть является
корнем многочлена
).
Следовательно, в качестве порождающего
многочлена кода, исправляющего 2 ошибки,
может быть взят многочлен
.
Предположим,
что при передаче кодового слова (кодового
многочлена) произошли ошибки в первом
и десятом разрядах, остальные разряды
переданы правильно. Локаторами ошибок
являются элементы
и
.
Следовательно, в данном случае многочлен
локаторов ошибок будет равен
. (17)
(При раскрытии скобок использовалась составленная выше таблица).
Именно этот многочлен должен быть вычислен в результате декодирования. Рассмотрим, как это происходит.
1°. Вычисление синдромов. Имеем
.
Возводя
в квадрат
и затем
,
находим
.
Следовательно, многочлен синдромов равен
.
2°. Использование алгоритма Евклида.
Полагаем
1-й
шаг. Деление с остатком
на
:
.
С
помощью частного
находим
2-й
шаг. Деление с остатком
на
:
.
Так
как степень остатка равна 2 – количеству
исправляемых ошибок, то на этом шаге
вычисления заканчиваются. С помощью
частного
находим
,
поэтому
,
что совпадает с выражением (17).
Библиографический список
1. Ефимов Н.В. Линейная алгебра и многомерная геометрия: учебное издание. – 4-е изд., стер. М.: Физматлит, 2005. – 464с.
2. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре: учебн. пособие. – 2-е изд., испр. СПб.: Лань, 2006. – 319с.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – 5-е изд. М.: Физматлит, 2004. – 560с.
4. Глаголев В.В. Алгебраическая теория кодирования: учебн. пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. – 116с.
5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1. Основы алгебры. – 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2004. – 272с.
6. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2. Линейная алгебра. – 3-е изд. М.: Физматлит, 2004. – 368с.
7. Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Прикладная алгебра». Тула: ТулГУ, 2011. — (Кафедральный ресурс).
8. Методические указания к самостоятельной работе студента по дисциплине «Прикладная алгебра». Тула: ТулГУ, 2011. — (Кафедральный ресурс).
9. Методические указания к типовому расчету студента по дисциплине «Прикладная алгебра». Тула: ТулГУ, 2011. — (Кафедральный ресурс).