Лекция 17 Решение ключевого уравнения. Алгоритм декодирования бчх-кода
1. Решение ключевого уравнения
Для построения этого решения требуется следующая лемма.
Лемма
2. Пусть
многочлены
и
,
степени которых не превосходят
,
удовлетворяют соотношению
. (6)
Тогда
найдется многочлен
такой, что
.
Для доказательства сложим соотношение (5), умноженное на и соотношение (6), умноженное на . Получим
. (7)
Так как все четыре многочлена имеют степени, не превосходящие , в левой части (7) стоит многочлен степени не больше . Согласно (7), он должен равняться нулю. Отсюда
. (8)
Многочлен
локаторов ошибок
не имеет кратных корней, следовательно,
наибольший общий делитель многочлена
и его производной равен 1:
.
Отсюда следует, что
.
Действительно,
.
Так как , то найдутся многочлены и такие, что
. (9)
Умножим
равенство (8) на
и в полученном соотношении заменим
произведение
,
выразив его из (9):
.
Отсюда
.
Обозначая
многочлен
через
,
получаем, что
.
Подставив это выражение в (8), получим
или
.
Многочлен
заведомо ненулевой, так как
.
следовательно,
.
Лемма 2 доказана.
Еще раз об алгоритме Евклида для многочленов.
Напомним,
что для отыскания наибольшего общего
делителя многочленов
и
выполняется последовательность делений
с остатком:
Полагая
,
,
запишем эту последовательность более
компактно
(10)
Одновременно
с процессом деления, то есть вычислением
и
,
вычисляются многочлены
и
,
такие, что
.
Правило для их вычисления следующее.
Во-первых, из определения
и
имеем
Далее из (10) получаем
Отсюда
(11)
Докажем два утверждения о процессе (10) отыскания наибольшего общего делителя.
Лемма 3. При всех многочлены и взаимно просты, то есть
.
Доказательство.
Умножим первое из соотношений (11) на
,
второе – на
и вычтем одно из другого. Получим
(12)
Обозначим
через
левую часть этого соотношения, тогда
само соотношение записывается в виде
.
Так как
,
то
.
Итак,
. (13)
Из
этого соотношения и вытекает утверждение
леммы: действительно, любой общий
делитель многочленов
и
является делителем правой части –
.
Замечание 1. Для поля характеристики 2 в формулах, фигурирующих в доказательстве леммы знак " – " можно заменить на знак " +".
Замечание 2. Из (13) следует, что многочлены и не могут одновременно обратиться в нуль.
Лемма 4. Степень многочлена можно вычислить по формуле
.
Доказательство. Из (10) имеем
. (14)
Это
вытекает из того, что, по определению
деления с остатком,
.
Точно так же из (11) получим
. (15)
Складывая соотношения (14), получаем
.
Сложение соотношений (15) дает
.
Отсюда,
учитывая, что
.
Лемма доказана.
2. Алгоритм декодирования бчх-кода
Применим
алгоритм Евклида, то есть процесс (10) и
(11), к многочленам
и
– многочлену синдромов (4).
Остановим
процесс деления многочленов на шаге к
таком, что
,
a
.
Для вычисленных на этом шаге многочленов
и
будем иметь
(16)
или
.
При
этом
и
.
Применяя лемму 2, получаем
.
Так
как многочлен
является делителем многочленов
и
,
то из представления (16) вытекает, что
является делителем многочлена
.
Но по лемме 3 многочлены
и
взаимно просты. Следовательно,
многочлен нулевой степени:
.
Элемент
не может
быть нулем, иначе
,
что невозможно по замечанию 2 к лемме
3. Поэтому
.
Полагая
и учитывая, что
,
получаем
.
Сформулируем в окончательной форме алгоритм декодирования БЧХ-кода, имеющего параметры и .
1°. Для принятого многочлена
вычисляются
синдромы
;
2°.
К многочленам
и
применяется алгоритм Евклида, то есть
производится выполнение операций (10) и
(11) до шага
,
на котором степень получившегося остатка
не превосходит числа исправляемых
ошибок (при этом степень предыдущего
остатка больше этого числа):
, ;
3°. Вычисляется многочлен локаторов ошибок :
если
– многочлен, рассчитанный на
-ом
шаге по формулам (11), то
;
4°.
Элементы
,
поочередно подставляются в многочлен
локаторов ошибок; если
;
то
исправляется (заменяется на противоположный).