Лекция 16 Декодирование циклических кодов. Локаторы ошибок. Многочлены локаторов и синдромов. Ключевое уравнение

1. Декодирование циклических кодов

Пусть – циклический код с параметрами:

– длина кодовых слов;

– количество исправляемых ошибок.

Имеем

.

Здесь – порождающий многочлен кода, имеющий своими корнями элементы

, (1)

где – примитивный корень -й степени из единицы. Напомним, что , где – наименьшее положительное число такое, что :

.

Если – примитивный элемент поля , то .

При передаче по каналу связи из-за возможных ошибок будет принят многочлен

,

где – номера искаженных разрядов.

Если , то процедура декодирования должна обеспечивать исправление этих разрядов.

2. Локаторы ошибок. Многочлены локаторов и синдромов

Исходными данными для декодирования являются так называемые синдромы – значения принятого многочлена на элементах (1):

.

Так как элементы (1) являются корнями многочлена , и, следовательно, многочлена , то

.

Заметим, что задача отыскания номеров искаженных разрядов эквивалентна задаче отыскания элементов

поля называемых локаторами ошибок. Обозначая эти элементы , соответственно, получаем

.

Величины были определены для нечетных , однако, используя формулу возведения в квадрат в поле с характеристикой 2:

,

мы можем считать, что известны для всех от 1 до . Действительно,

Итак, задача обнаружения искаженных разрядов сводится к такой: найти элементы поля , такие, что

, (2)

– известные элементы поля.

Для аппаратной реализации процедуры декодирования оказывается удобнее вместо непосредственного отыскания локаторов ошибок (решения системы (2)) вычислить многочлен, корнями которого являются элементы, обратные локаторам ошибок

. (3)

Он называется многочленом, локаторов ошибок. В целом алгоритм декодирования может быть теперь описан следующим образом.

1°. По принятому многочлену вычисляются синдромы ;

2°. По вычисленным синдромам находится многочлен локаторов ошибок ;

3°. Элементы по очереди подставляются в многочлен локаторов ошибок. Если , то – локатор ошибки и соответствующий разряд исправляется (то есть заменяется на противоположный).

Рассмотрим, как выполнить наиболее трудный пункт 2°.

3. Ключевое уравнение

Обозначим через многочлен

. (4)

Будем далее его называть многочленом синдромов. Задача состоит в том, чтобы по многочлену синдромов (4) найти многочлен локаторов ошибок

.

Нам потребуется также многочлен

в который входят все члены многочлена локаторов ошибок с четными степенями .

Выше отмечалось, что если в кольце многочленов над любым полем формально определить операцию дифференцирования

,

то основные правила дифференцирования: линейность и правило дифференцирования произведения остаются в силе. (Это проверяется непосредственно подсчетом коэффициентов при одинаковых степенях ).

Используя этот факт, многочлен можно записать так

.

Лемма 1. Справедливо следующее соотношение

. (5)

Другими словами, у многочлена в левой части коэффициенты при равны нулю.

Лемма 1 доказывается индукцией по (количеству произошедших ошибок). При имеем и левая часть соотношения (5) принимает вид , то есть тождественно равна нулю.

Пусть теперь соотношение (5) выполняется для некоторого и . Покажем, что оно выполняется и для ошибок. Временно будем обозначать многочлены, входящие в (5), малыми буквами для случая ошибок и соответствующими большими буквами для случая ошибок:

Кроме того,

Подставляем теперь , , в уравнение (5):

По предположению индукции

.

Следовательно, ( ). Лемма 1 доказана.

Соотношение (5) можно рассматривать как уравнение, которому удовлетворяет многочлен локаторов ошибок. Его называют ключевым уравнением. Требуется найти решение ключевого уравнения, удовлетворяющее дополнительным условиям

и степень .