2. Матрицы. Операции над матрицами

Пусть - произвольные целые положительные числа. Матрицей называется совокупность из чисел поля , записанных в виде прямоугольной таблицы:

состоящей из строк и столбцов. Будем писать .

Мы будем рассматривать, в основном, квадратные матрицы, у которых число строк и столбцов совпадает и матрицы, у которых 1 столбец (вектор-столбец) или 1 строка (вектор-строка). В качестве полей, в основном, будут использоваться поле действительных чисел , поле рациональных чисел и поле комплексных чисел .

Операции над матрицами:

1. Равенство матриц. Две матрицы равны, если совпадают их размеры и элементы.

2. Сложение матриц. Если , то , где .

3. Умножение матрицы на число. Если , , то .

4 Умножение матриц. Если , то , где ..

5. Транспонирование матрицы. Если , то транспонированная матрица .

6. Сопряжение матрицы. Если , то сопряженная матрица .

7. След матрицы. Если , то ее след

8. Определитель матрицы .

9. Обратная матрица. Если , то существует обратная матрица , для которой .

10. Собственные значения матрицы.

11. Ранг матрицы.

3. Типы матриц

Мы будем иметь со следующими типами матриц:

1. Единичная матрица – это квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы нули.

2. Диагональная матрица – это матрица, у которой могут быть отличны от нуля только элементы на главной диагонали.

3. Верхняя (правая) треугольная матрица – это матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали нулевые. Нижняя (левая) треугольная матрица – это матрица, у которой все элементы выше главной диагонали нулевые.

4. Симметричная матрица – это действительная матрица, для которой .

5. Кососимметричная матрица – это действительная матрица, для которой .

6. Эрмитова матрица – это комплексная матрица, для которой .

7. Косоэрмитова матрица – это комплексная матрица, для которой .

9. Ортогональная матрица – это действительная матрица , для которой

10. Унитарная матрица – это комплексная матрица , для которой .

11. Нормальная матрица – это матрица для которой .

12. Невырожденная матрица – это матрица, у которой определитель отличен от нуля.

13. Матрица простой структуры – это матрица, подобная диагональной, то есть для нее возможна запись , где - диагональная. Для такой матрицы есть базис из собственных векторов.

Задача. Какие алгебраические структуры образуют диагональные, треугольные, симметричные, кососимметричные, эрмитовы, косоэрмитовы, ортогональные, унитарные и невырожденные матрицы.

4. Нормы матриц

Если , то - линейное пространство с операциями:

В нем разными способами можно ввести норму. Мы будем использовать три нормы:

1. 1-норма -

2. 2-норма (евклидова) -

3. -норма -

Все эти отображения удовлетворяют трем аксиомам нормы:

Квадратные матрицы порядка с элементами из поля можно рассматривать как линейные операторы из в . Они образуют линейное пространство относительно сложения матриц и умножения их на числа. В нем разными способами можно ввести норму . Мы будем использовать четыре нормы:

1. 1- норма - ,

2. 2-норма (спектральная) - ,

3. -.норма - ,

4. евклидова норма -

Для этих норм помимо трех аксиом выполняется и следующее мультипликативное свойство

Можно доказать следующее утверждение.

Теорема. Справедливы равенства

1) 2)