Лекция 12 Единственность конечного поля. Число неприводимых многочленов в

1. Единственность конечного поля

Из теоремы 2 предыдущей лекции вытекает, что в определенном смысле имеется только одно поле из элементов. Две алгебраические структуры называют изоморфными, если между элементами можно установить биективное соответствие, при котором сохраняются операции. В частности, поле изоморфно полю , если имеется биекция : , такая что всякий раз когда в поле , в поле и, если в поле , то в поле . С практической точки зрения изоморфные объекты отличаются друг от друга только обозначением элементов: имеется один абстрактный объект, а при работе с ним мы используем различные его представления.

Теорема 1. Любые два поля из элементов изоморфны.

Доказательство. Пусть и два поля из элементов. В поле имеется примитивный элемент . Так как все элементы поля выражаются через , то и минимальный многочлен элемента имеет степень . Многочлен , являясь делителем многочлена деления круга , имеет корень в поле (в любом поле из элементов многочлен деления круга раскладывается на множители первой степени). Так как – корень неприводимого многочлена -й степени, то . По основному способу построения полей поле определяется как совокупность многочленов от , степени не выше , с коэффициентами из , которые складываются обычным путем и перемножаются с учетом равенства . Отсюда очевиден изоморфизм полей и , так как и – корни одного и того же многочлена.

Замечание. Единственное поле из элементов обычно обозначается так: – поле Галуа (Galois Field) из элементов.

Пример. Выше было построено поле из 16 элементов:

Эти выражения складываются и умножаются по обычным правилам с заменой на и на . Поле из 16 элементов можно построить и другим путем, а именно как , где – корень какого-либо неприводимого многочлена 4-й степени, скажем, многочлена . В этом случае элементами поля будут всевозможные многочлены от степени не выше 3-й. Чтобы установить изоморфизм, надо в найти элемент, являющийся корнем того же многочлена. Проверим, что таким элементом является :

.

Следовательно, если : – изоморфизм полей, то . Кроме того, и . Так как , то . Теперь без труда находятся образы всех элементов, например,

.

2. Число неприводимых многочленов в

Число неприводимых многочленов кольца , имеющих степень и старший коэффициент, равный единице, обозначим . Пусть

полный список таких многочленов. В силу предыдущей теоремы имеет место следующее разложение

.

Подсчитав степень произведения многочленов в правой части этой формулы получим

. (1)

Соотношения (1) (для ) можно рассматривать как систему линейных уравнений, из которой последовательно находятся . Например, при эта система выглядит так

Из нее находим последовательно

Можно получить и явное выражение для , если воспользоваться известной в теории чисел функцией Мебиуса.

Лекция 13 Коды, исправляющие ошибки. Основные характеристики кода. Линейные коды

1. Коды, исправляющие ошибки

Процесс передачи информации по каналу связи можно представлять себе следующим образом. На вход канала поступает длинная последовательность нулей и единиц, разбитая на блоки (например, на байты). На другом конце канала эта последовательность принимается с возможными искажениями: переданная единица может быть принята как ноль и, наоборот.

То же происходит при хранении информации: файл, записанный на дискету в виде последовательности байтов, через некоторое время может "запортиться" – некоторые байты будут изменены.

Если уровень помех в канале высокий, то передача данных без каких-либо средств борьбы с помехами становится в принципе невозможной. Пусть, например, в каждом передаваемом байте с большой вероятностью искажается один разряд. Тогда передача информации может выглядеть примерно так:

Передаваемое слово	М	И	Р
ASCII-коды, поступающие в канал	10001100	10001000	10010000
Принятые ASCII-коды	10001101	10000000	10010001
Принятое слово	Н	А	С

Основным средством борьбы с ошибками при передаче по каналу связи является введение избыточности, при этом происходит снижение скорости передачи.

Например, можно передавать каждый байт 3 раза и переданный разряд определять "голосованием по большинству":

Переданный байт	Принятые байты
10001100 10001100 10001100		00001100 10011100 10000100
	10001100

Очевидно, при таком способе скорость передачи снижается в три раза.

В общем случае процесс передачи информации с введением избыточности можно представить в виде следующей схемы.

1. Передаваемая информация – длинная последовательность нулей и единиц – разбивается на блоки по символов.

2. Каждый блок кодируется двоичным словом из символов, где .

3. Коды передаются по каналу связи и принимаются на другом его конце с возможными искажениями.

4. Искаженные коды подвергаются процедуре декодирования, в результате которой восстанавливается передаваемый блок из символов.

Первым примером такой схемы передачи информации был 7-разрядный код Хэмминга, исправляющий единичные ошибки.

Передаваемая информация разбивается на блоки по 4 символа (полубайты), блоки кодируются словами из 7 символов:

.

Разряды кодового слова определяются так. Полубайт записывается в разряды 3,5,6,7 (информационные):

.

Остальные разряды кодового слова (контрольные) определяют так, чтобы выполнялись следующие соотношения:

("+" обозначает сложение по модулю 2). Другими словами, количество единиц в группах разрядов

и

должно быть четным. После приема слова с возможными искажениями подсчитываются суммы

Если ошибок не было, все три суммы равны нулю. Если был искажен один разряд, то – его номер.