2. Неприводимые множители многочлена деления круга

Рассмотрим два представления многочлена деления круга в виде произведения неприводимых множителей:

над полем

(3)

над полем из элементов – полем разложения многочлена :

(4)

В первом разложении – многочлены, неприводимые в кольце , во втором – все множители первой степени, по одному для каждого ненулевого элемента поля. Сравнение представлений (3) и (4) показывает, что каждый ненулевой элемент поля является корнем одного из многочленов .

Определение. Пусть – поле из элементов и . Многочлен наименьшей степени , такой что , называется минимальным многочленом элемента .

Нетрудно убедиться, что в разложении (3) представлены все минимальные многочлены ненулевых элементов . Минимальный многочлен нуля есть просто .

В следующей теореме дается полное описание множителей из разложения (3) и тем самым всех минимальных многочленов элементов конечного поля.

Теорема 2. Неприводимый многочлен степени , ( ), является делителем многочлена деления круга

,

тогда и только тогда, когда делит .

Таким образом, неприводимыми делителями многочлена деления круга являются всевозможные неприводимые многочлены всех степеней, являющихся делителями числа .

Например, в (2) приведено разложение многочлена деления круга с , , в этом случае из теоремы следует, что в кольце имеется один неприводимый многочлен второй степени и 3 многочлена 4-й степени, они фигурируют в разложении (2).

Для доказательства теоремы требуются два вспомогательных факта.

Лемма 1. Многочлен является делителем многочлена в том и только в том, случае, когда .

Этот факт справедлив для многочленов над любым полем. В самом деле, в любом поле имеет место формула

(5)

(надо просто раскрыть скобки в левой части). Допустим, что делится на : . Подставляя в (5) вместо выражение , получим

. (6)

Если не делится на : ( ) , то

(7)

то есть при делении многочленов получается остаток , не равный нулю, так как .

Следствие. Число является делителем числа в том и только в том случае, когда .

Это вытекает из формул (6) и (7), в которых надо заменить на .

Рассматривая выше понятие характеристики поля, мы ввели понятие подполя – совокупности элементов, которые сами образуют поле относительно операций в объемлющем поле, Если – поле характеристики , то оно содержит простое подполе , которое будет входить и в любое другое подполе .

Лемма 2. Если – поле из элементов, a – его подполе из элементов, то .

Доказательство. По теореме 1 в поле имеется элемент порядка . Так как, с другой стороны , порядок элемента должен делить . По следствию из леммы 1 это возможно лишь тогда, когда .

Доказательство теоремы 2.

Достаточность.

Пусть – неприводимый многочлен степени и делит . Построим, следуя общему способу построения полей, поле , . Оно состоит из 0 и элементов, являющихся корнями многочлена . Следовательно, многочлены и имеют общий корень , а так как неприводим, то . Так как , то . Отсюда .

Необходимость.

Пусть – неприводимый делитель степени многочлена . Рассмотрим какое-либо поле из элементов. По следствию из теоремы 3 о примитивном элементе поле из элементов является полем разложения многочлена , поэтому имеет в корень . Поле вместе с элементом содержит и все поле . Таким образом, поле ( ) содержит подполе , состоящее из элементов. По лемме 2 это возможно лишь в том случае, когда . Теорема доказана.