3. Существование поля из элементов
Выше было показано, что число элементов конечного поля должно иметь вид , где – простое число. Например, нельзя построить поле из шести элементов. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Для каждого простого числа и каждого натурального существует поле из элементов.
Доказательство.
Поле, о котором идет речь, имеет
характеристику, равную
,
и содержит в себе простое подполе
.
Рассмотрим в связи с этим кольцо
многочленов
.
В этом кольце есть многочлен
,
который называют многочленом деления
круга (в поле комплексных чисел корни
этого многочлена расположены в вершинах
правильного
-угольника,
вписанного в единичную окружность с
центром в нуле). Построим, как это описано
выше, поле разложения многочлена деления
круга –
и обозначим через
совокупность элементов поля
,
удовлетворяющих соотношению
.
Очевидно,
этому соотношению удовлетворяют нулевой
элемент поля и все корни многочлена
деления круга. Эти корни содержатся в
и попарно различны, так как многочлен
и его производная
взаимно просты:
.
Таким
образом,
состоит из
элементов. Покажем, что
– поле. Заметим, что для этого нам нужно
убедиться только в том, что сумма и
произведение элементов из F
снова является элементом F,
а также в том, что если
,
то и
.
В самом деле, тогда все аксиомы поля
будут выполнены для
потому, что эти аксиомы выполняются для
объемлющего поля
.
Заметим еще что
и
.
Сумма элементов из принадлежит .
Это вытекает из правила возведения в -ю степень в поле характеристики , о котором идет речь в следующей лемме.
Лемма. Пусть – поле характеристики , а и – два любых его элемента. Тогда
.
Доказательство. Как уже говорилось в начале этой главы, известные факты элементарной алгебры сохраняют справедливость в любых полях. В частности, имеет место формула бинома Ньютона
.
Все биномиальные коэффициенты в "средней" части последней формулы делятся на . Действительно,
.
Правая
часть этого равенства делится на
,
в левой части множители
и
не делятся на
,
так как
и
.
следовательно,
делится на
.
Но в поле характеристики
числа, делящиеся на
,
совпадают с нулевым элементом поля.
Лемма доказана.
Из леммы без труда получаем требуемое свойство 1):
.
Следовательно,
.
Произведение элементов из принадлежит .
.
Если , то .
.
Итак, множество замкнуто относительно операций сложения, умножения и взятия обратного элемента. Как указывалось выше, это означает, что – поле. Таким образом, построено поле из элементов.
Теорема 2 доказана.
Лекция 11 Алгебраическая структура конечного поля. Неприводимые множители многочлена деления круга
1. Алгебраическая структура конечного поля
В этой лекции выясняется структура мультипликативной группы конечного поля. Пусть – конечное поле и – произвольный его элемент. Если образовать элементы
то
в этом ряду будут повторения
и, следовательно,
.
Таким образом, каждый ненулевой элемент
конечного поля в некоторой степени
равен 1. Наименьшее положительное число
,
такое что
,
называется порядком элемента
,
будем обозначать порядок следующим
образом
.
Из определения и свойств целых чисел
легко вытекают следующие свойства
порядка.
Пусть
,
и
.
Тогда
.
Действительно, если
,
то
.
Из определения порядка получаем
.Пусть и
.
Тогда
.
В
самом деле, если
,
и
,
то, во-первых,
и, во-вторых,
,
то
есть
– наименьшее положительное число, такое
что
.
Пример.
Пусть
,
тогда
Отметим
также, что
.
Если
,
и
,
то
.
Имеем,
.
Предположим,
что
или
.
Если это равенство возвести в степень
,
получим
.
Так как
,
то
делит число
,
а так как
,
то
.
Совершенно так же, возводя в степень
,
получим, что
.
Так как
,
то
.
Структура мультипликативной группы конечного поля
Теорема
1. В поле
из
элементов имеется элемент
,
порядок которого равен
.
Фактически, эта теорема утверждает, что
.
Мультипликативной группой конечного поля называют совокупность из ненулевых элементов поля с операцией умножения. Теорема 3 утверждает, что эта группа состоит из степеней одного элемента . Такая группа называется циклической. Поэтому другая формулировка теоремы такова:
Мультипликативная группа конечного поля циклическая.
Элемент , степени которого дают все ненулевые элементы поля называется примитивным. Доказательство теоремы.
Обозначим
через
максимальный из порядков ненулевых
элементов поля
и пусть
– элемент порядка
.
Ясно, что
,
так как
различных степеней
все находятся в рассматриваемом поле.
Для доказательства теоремы установим
обратное неравенство.
Покажем
сначала, что порядки остальных элементов
поля являются делителями максимального
порядка
.
Пусть некоторый элемент
имеет порядок, равный
,
и
не делит
.
Представим числа
и
в виде произведения простых множителей.
Если
не является делителем
,
то найдется такое простое число
,
что
и
(
и
не делятся на
).
Используя рассмотренные выше свойства
порядка 1-3, получим
и
.
Это противоречит тому, что – максимальный из порядков.
Из того, что порядки всех элементов поля делят , следует, что все ненулевых элементов поля удовлетворяют уравнению
.
Так
как число корней многочлена в любом
поле не превышает его степени, то
.
Теорема доказана.
Следствие. Поле из элементов состоит из 0 и всех корней многочлена деления круга . Таким образом, оно является полем разложения этого многочлена.