2. Поле разложения

Пусть – некоторое поле, а – произвольный многочлен из . Если не является неприводимым, то возможно представление , в котором многочлены и имеют меньшую степень. Раскладывая, если можно, таким же путем и и продолжая процесс, мы разложим на неприводимые множители:

.

Предположим, что среди многочленов есть многочлен степени выше первой, пусть, например, это будет многочлен . Построим поле , присоединяя к элемент , такой, что (построение описано выше). Многочлен можно рассматривать как элемент кольца многочленов, коэффициенты которых принадлежат новому полю . (На самом деле коэффициенты принадлежат , но по построению ). Разложим теперь на неприводимые множители в кольце . Отметим, что приведенное выше разложение многочлена , справедливое и в новом кольце, теперь уже не будет разложением на неприводимые многочлены, так как, например, многочлен имеет в поле корень , следовательно, делится на .

Пусть разложение многочлена на неприводимые множители в кольце имеет вид:

, (1)

Сравнивая это разложение с предыдущим, можно сказать, что новое разложение "более мелкое" – многочлены при переходе от поля к полю раскладываются на множители меньшей степени, неприводимые в кольце . В частности, это относится к многочлену .

Если в разложении (1) имеются множители степени выше первой, то описанный выше процесс можно повторить: построить поле , где – корень одного из множителей степени выше первой. В кольце разложение многочлена еще более "измельчится". Ясно, что повторяя описанное построение, мы в конце концов придем к полю , такому, что в кольце многочлен раскладывается на множители первой степени:

.

Таким образом, в поле многочлен имеет ровно корней, где – степень многочлена . Поле называется полем разложения многочлена . Мы доказали следующую теорему.

Теорема 1. Пусть – произвольное поле, а – произвольный многочлен из степени . Существует поле , в котором многочлен имеет корней.

Пример. Рассмотрим многочлен из кольца , где – поле из двух элементов. Перебором неприводимых многочленов степеней 2,3 и 4 можно убедиться, что разложение нашего многочлена на неприводимые множители в кольце имеет вид

. (2)

Следуя описанному выше построению, рассмотрим один из неприводимых множителей, например, , и построим поле , добавляя к элемент , такой, что .

В результате получится поле из предыдущего примера. В новом поле многочлен имеет два корня и и раскладывается на множители первой степени:

.

Многочлены 4-й степени при переходе к новому полю раскладываются на множители второй степени, например, выполняя действия в поле , нетрудно проверить, что

.

Новое разложение многочлена на множители, неприводимые в кольце принимает вид:

Если теперь, продолжая построение, присоединить к полю корень одного из квадратных трехчленов предыдущего разложения, например, элемент , такой что , то получим поле из 16 элементов

(Перечисленные выражения складываются и перемножаются по обычным правилам с заменой на и на ).

В кольце многочлен раскладывается на множители первой степени, все перечисленные элементы, кроме 0, являются его корнями.