2. Алгоритм Евклида

Наибольшим общим делителем двух многочленов и называется многочлен , такой что

1. и ;

2. если и , то .

Обозначение прежнее: .

Теорема 2. Если , то существуют многочлены и , такие что

. (8)

Доказательство такое же, как для кольца целых чисел.

Замечание. Имеется некоторая неоднозначность в определении , она связана с тем, что если d(x) наибольший общий делитель многочленов и , а – произвольный ненулевой элемент поля , то многочлен так же будет удовлетворять условиям 1) и 2). Наоборот, если и , то многочлены и будут делить друг друга, а это возможно лишь в случае, когда , ( ). Таким образом, наибольший общий делитель двух многочленов над полем определен с точностью до множителя – элемента . Эту неоднозначность можно устранить, требуя чтобы старший коэффициент равнялся единице. Добавим в связи с этим к определению условие нормировки

3. старший коэффициент равен единице.

В кольце , можно применять алгоритм Евклида отыскания наибольшего общего делителя и его вычислительную схему, рассмотренную выше. Ограничимся примером.

Пример. В кольце найти наибольший общий делитель многочленов

и ,

а также многочлены и в представлении (8).

Вычисления проводятся по разобранной выше схеме с заменой чисел на многочлены.

Начало.

1. Полагаем

Цикл.

2. Производим деление

.

Частное , остаток – . Пересчитываем

3. Производим деление

.

Частное , остаток – 1. Пересчитываем

Итак,

и

.

3. Неприводимые многочлены

В кольце целых особую роль играют простые числа, которые можно определить как числа, не представимые в виде произведения меньших (по модулю) чисел. Их аналогом в кольце многочленов являются неприводимые многочлены. Многочлен называется неприводимым, если его нельзя представить в виде произведения многочленов меньшей степени. Например, в кольце многочлен второй степени с вещественными коэффициентами, дискриминант которого меньше нуля:

,

неприводим. Если бы раскладывался на множители меньшей, то есть первой, степени

,

то он имел бы корни и , однако известно, что это не так.

Основное свойство неприводимых многочленов то же самое, что у простых чисел:

пусть неприводимый, а произвольный многочлен. Тогда либо , либо .

Действительно, так как является делителем , то соотношение невозможно, иначе можно было бы представить в виде произведения многочленов меньшей степени, а именно многочлена и многочлена . Значит, либо , тогда , ( ), и, следовательно, ; либо , тогда (с учетом условия нормировки в определении наибольшего общего делителя многочленов).

Лекция 10 Общий способ построения полей. Поле разложения. Существование поля из элементов

1. Общий способ построения полей

Повторяя построение примера 2, получаем весьма общий способ построения полей.

Пусть – кольцо многочленов над некоторым полем , и – неприводимый многочлен степени . Рассмотрим всевозможные остатки от деления на , то есть совокупность всевозможных многочленов из степени не выше . На этом множестве определим операции сложения и умножения следующим образом: операции выполняются по обычным правилам, после чего результат заменяется его остатком от деления на . Построенная таким путем алгебраическая структура является полем. В самом деле справедливость всех аксиом поля, кроме 8-й, вытекает из того, что они выполнены при обычных операциях с многочленами. Аксиома 8 проверяется так же как для чисел: пусть , то есть не делится на , тогда и можно найти многочлены и , такие что

.

Из этого равенства вытекает, что .

Построенное поле иногда обозначают .

Пример. Рассмотрим поле вещественных чисел и кольцо многочленов с вещественными коэффициентами. В этом кольце, как мы видели выше, многочлен неприводим. Следовательно, – поле. Рассмотрим это поле подробнее. Согласно построению, элементами поля являются многочлены степени не выше 1-й: , коэффициенты которых – – вещественные числа. Эти многочлены складываются и умножаются по обычным правилам и результат заменяется остатком от деления на , то есть

. (9)

Результат умножения вычисляется так: сначала умножаем обычным образом:

.

Затем находим остаток от деления на :

.

Итак, правило умножения выглядит так

. (10)

Система, состоящая из пар вещественных чисел, операции в которой определяются по правилам (9) и (10), хорошо известна – это множество комплексных чисел . Мы видим, что построение поля комплексных чисел укладывается в нашу общую схему:

.

В связи с рассмотренным примером имеет смысл несколько изменить форму описания поля (не изменяя сути дела).

Пусть дано поле и неприводимый многочлен , . Из неприводимости вытекает, что многочлен не имеет корней в поле . Рассмотрим некоторый новый элемент , удовлетворяющий уравнению . Мы хотим присоединить элемент к так, чтобы снова получилось поле. Новое поле вместе с элементом будет содержать элементы и их линейные комбинации:

(11)

то есть всевозможные многочлены от степени не выше . Элемент может быть выражен через рассмотренные, так как из того, что или

следует, что

. (12)

Беря выражения (11) в качестве элементов нового ноля и определяя для них операции с учетом (12), мы в силу вышеизложенного получим поле (оно отличается от поля только тем, что вместо пишем ). Говорят также, что новое поле является расширением старого, или получено присоединением элемента , в связи с этим его обозначают так

.

Например, поле обычно вводится как совокупность объектов вида , где , , а , то есть как , , а не как .

Пример. Поле из 4-х элементов.

Так как , то характеристика поля должна быть равна 2, и поле содержит простое подполе . Рассмотрим , то есть совокупность многочленов с коэффициентами 0 и 1. Имеется 4 многочлена 2-й степени:

.

Только последний из них неприводим. Пусть – элемент со свойством . Тогда

поле из четырех элементов.