Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тульский государственный университет»

Кафедра «Прикладная математика и информатика»

Иванов в.И.

д.ф.-м.н., профессор

Конспект лекций

по дисциплине

Прикладная алгебра

Направление подготовки: 010400 «Прикладная математика и информатика»

Профиль подготовки: «Прикладная математика и информатика»

Форма обучения: очная

Тула 2011г.

Рассмотрено на заседании кафедры ПМиИ

протокол № 1 от " 01 " сентября 2011 г.

Зав. кафедрой________________В.И. Иванов

Содержание

ЛЕКЦИЯ 1 Алгебраические операции и алгебраические структуры. Матрицы. Операции над матрицами. Типы матриц. Нормы матриц 5

1) 2) 8

3) 4) наибольшее сингулярное число 8

ЛЕКЦИЯ 2 Теория Фредгольма для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 9

ЛЕКЦИЯ 3 Нормальное решение, псевдорешение СЛАУ. Псевдообратная матрица 10

ЛЕКЦИЯ 4 LU-разложение матрицы 12

13

14

где 14

. 14

ЛЕКЦИЯ 5 Матрицы вращений и матрицы отражений. QR-разложение матрицы 14

, 14

называются матрицами вращения (простого поворота, Гивенса). 14

, 15

2. Матрицы отражений 15

15

ЛЕКЦИЯ 6 Сингулярные числа матрицы. Сингулярное разложение матрицы. Полярное разложение матрицы 16

. 16

17

3. Сингулярное разложение матрицы 18

4. Следствия из сингулярного разложения матрицы 18

5. Полярное разложение матрицы 19

ЛЕКЦИЯ 7 Возмущения СЛАУ. Число обусловленности 19

ЛЕКЦИЯ 8 Кольцо и поле. Делители нуля. Характеристика поля. Алгоритм Евклида. Число элементов конечного поля 22

ЛЕКЦИЯ 9 Кольцо многочленов над полем. Алгоритм Евклида. Неприводимые многочлены 27

3. Неприводимые многочлены 31

ЛЕКЦИЯ 10 Общий способ построения полей. Поле разложения. Существование поля из элементов 31

1. Общий способ построения полей 31

2. Поле разложения 33

3. Существование поля из элементов 35

ЛЕКЦИЯ 11 Алгебраическая структура конечного поля. Неприводимые множители многочлена деления круга 36

2. Неприводимые множители многочлена деления круга 38

ЛЕКЦИЯ 12 Единственность конечного поля. Число неприводимых многочленов в 41

1. Единственность конечного поля 41

2. Число неприводимых многочленов в 42

ЛЕКЦИЯ 13 Коды, исправляющие ошибки. Основные характеристики кода. Линейные коды 43

ЛЕКЦИЯ 14 Коды Боуза – Чаудхури– Хоквингема (БЧХ-коды) 48

Итак, в матрице (2) любые столбцов линейно независимы, следовательно, по теореме 3 лекции 13 соответствующий код исправляет ошибок 51

ЛЕКЦИЯ 15 Циклические коды 51

ЛЕКЦИЯ 16 Декодирование циклических кодов. Локаторы ошибок. Многочлены локаторов и синдромов. Ключевое уравнение 55

1. Декодирование циклических кодов 55

3. Ключевое уравнение 57

ЛЕКЦИЯ 17 Решение ключевого уравнения. Алгоритм декодирования БЧХ-кода 58

1. Решение ключевого уравнения 58

2. Алгоритм декодирования БЧХ-кода 60

Пример. , . 62

Лекция 1 Алгебраические операции и алгебраические структуры. Матрицы. Операции над матрицами. Типы матриц. Нормы матриц

1. Алгебраические операции и алгебраические структуры

Будем говорить, что в множестве определена бинарная алгебраическая операция или просто алгебраическая операция, если указан закон, по которому любой упорядоченной паре элементов , взятых из этого множества, однозначным образом ставится в соответствие некоторый третий элемент , также принадлежащий этому множеству.

Эта операция может быть названа сложением, и тогда будет называться суммой элементов и обозначаться символом ; эта операция может быть названа умножением, и тогда будет называться произведением элементов и обозначаться символом . Вообще терминология и символика для операции, определенной в множестве , не будет играть в дальнейшем какой-либо существенной роли. Как правило, мы будем пользоваться символикой суммы и произведения, независимо от того, каким образом определена операция в действительности. Если же нам потребуется подчеркнуть некоторые общие свойства алгебраической операции, то будем обозначать операцию символом .

Алгебраическая операция называется коммутативной, если результат ее применения не зависит от порядка выбора элементов, т.е. для любых двух элементов из заданного множества имеет место равенство .

Алгебраическая операция называется ассоциативной, если для любых трех элементов исходного множества .

Пусть в множестве заданы две алгебраические операции. Предположим, что одна из них названа умножением, а другая - сложением. Говорят, что умножение дистрибутивно относительно сложения, если для любых трех элементов из множества выполняются равенства , .

Пусть в множестве определена алгебраическая операция . Предположим, что уравнения имеют единственные решения при любых . Тогда каждой упорядоченной паре элементов мы можем поставить в соответствие однозначно определенные элементы , т.е. ввести две алгебраические операции. Операция определения называется правой (левой) обратной операцией по отношению к основной операции . Заметим, что эти операции будут алгебраическими, если уравнения имеют единственные решения для любых правых частей.

Если существует правая и левая обратные операции, то говорят, что основная операция имеет обратную операцию. Правая и левая обратные операции совпадают тогда и только тогда, когда основная операция – коммутативная.

Основными алгебраическими структурами являются группы, кольца и поля.

Группой называется множество с одной алгебраической операцией, ассоциативной (хотя не обязательно коммутативной), причем для этой операции должна существовать обратная операция. В группе существует единица и обратный элемент. Коммутативная группа называется абелевой.

Множество называется кольцом, если в нем определены две операции - сложение и умножение, обе ассоциативные, а также связанные законом дистрибутивности, причем сложение коммутативно и обладает обратной операцией. Кольцо называется коммутативным, если умножение коммутативно, и некоммутативным - в противном случае. В кольце есть нулевой элемент, но не обязательно есть единица. В кольце могут быть делители нуля, то есть такие ненулевые элементы , для которых .

Коммутативное кольцо с единицей, которое содержит не менее двух элементов и в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем. В поле есть нулевой и единичный элементы, но нет делителей нуля.

Существуют поля, в которых сумма , содержащая слагаемых, равна нулю. Наименьшее натуральное число , обладающее этим свойством, называется характеристикой поля. Если такое не существует, то говорят, что характеристика поля равна 0. Характеристика поля либо нуль, либо простое число.