27. Расчёт переходных процессов операторным методом. Обратное преобразование Лапласа. Поиск оригинала по изображению.
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ –
с помощью преобразования Лапласа.
Определения.
Оригиналом называется функция переменной t (времени), имеющая следующие свойства:
1. f(t)=0, если t<0;
2. f (t) < Meσ 0t , σ 0 > 0, M > 0 ;
3.функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е. на каждом конечном интервале она имеет конечное число максимумов и минимумов и разрывов первого рода.
Сопоставим ей функцию комплексной переменной p=σ+jω, задаваемую формулой
(1):
∞ |
|
F ( p) = ∫ e− pt f (t)dt , |
(1) |
0 |
|
функция F(p) называется изображением по Лапласу функции f(t).
Если функция f(t) удовлетворяет вышеперечисленным условиям, то интеграл (1)
∞
абсолютно сходится в области Rep=σ>σ0 (т.е. сходится интеграл ∫ e− pt f (t) dt ). В этой
0
области функция F(p) является аналитической функцией комплексного аргумента, т.е. в каждой точке она разлагается в степенной ряд.
Обозначения изображения по Лапласу:
|
|
, |
|
F(p)=L[f(t)], |
|
. |
||||
Обратное преобразование Лапласа: |
|
|
||||||||
|
1 |
σ + j∞ |
|
1 |
|
σ + jω |
|
|||
f (t) = |
∫ |
F ( p)e pt dt = |
lim |
∫ |
F ( p)e pt dt, |
σ > σ 0 , |
||||
2πj |
|
|||||||||
|
|
|
2πj ω →∞ |
|
|
|||||
|
|
σ − j∞ |
|
|
|
σ − jω |
|
|||
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначение:
L-1[F(p)]=f(t),
Основные свойства прямого преобразования Лапласа.
1. Свойство линейности: если
Fk(p)=L[fk(t)],
то:
∑ ak Fk ( p) = L[∑ ak f k (t)] , |
(3) |
|
k |
k |
|
где ak - числа.
Т.е. изображение линейной комбинации оригиналов есть линейная комбинация изображений.
2. |
Теорема запаздывания. |
|
L[ f (t − t0 )] = e− pt0 L[ f (t)] = e− pt0 F ( p) . |
(4) |
|
3. |
Теорема смещения. |
|
L[e−αt f (t)] = F ( p + α) , |
(5) |
|
где: α - положительная или отрицательная постоянная.
4. Умножение изображений: изображение свертки оригиналов равно произведению изображений:
t |
|
|
L[∫ f1 (t − τ ) f 2 (τ )dτ ] = F1 ( p)F2 ( p) |
(6) |
|
0 |
|
|
5. Предельные соотношения: |
|
|
если lim f (t) , то |
|
|
t →0+ |
|
|
lim f (t) = |
f (0+ ) = lim[ pF ( p)] , |
(7) |
t →0+ |
p→∞ |
|
если lim f (t) , то |
|
|
t→∞ |
|
|
lim f (t) = lim[ pF ( p)] , |
(8) |
|
t→∞ |
p→0 |
|
6. Изображение производной |
|
|
L[f′(t)]=pF(p)-f(0+), |
(9) |
|
где f(0+) значение функции в начальный момент времени. |
|
|
Изображение n-й производной имеет вид: |
|
|
L[f(n)(t)]=pnF(p)-pn-1f(0+)-pn-2f′(0+)-…- f(n-1)(0+). |
(10) |
|
В частном случае, при нулевых начальных условиях: |
|
|
L[f′(t)]=pF(p), |
(11) |
|
L[f(n)(t)]=pnF(p). |
(12) |
|
7. Изображение интеграла
t
L[∫ f (τ )dτ ] = F ( p) . (13)
p
0
Изображение некоторых функций времени.
Определение 1. Единичная функция 1(t) имеет следующий вид:
0, |
t < 0 |
|
|
(14) |
|
1(t) = |
|
, |
|
|
|
1, |
t |
³ 0 |
|
|
|
аналогично: |
0, |
t < τ |
|
|
|
1(t -τ ) = |
, |
|
(14¢) |
||
|
t ³ τ |
|
|||
|
1, |
|
|
|
|
тогда: |
|
0, |
|
t < τ |
|
|
|
|
, |
||
f (t) ×1(t -τ ) = |
|
t ³ τ |
|||
|
|
f (t), |
|
||
(15) |
|
|
|
|
|
Определение 2. Единичный импульс или δ-функция d(t) имеет следующий вид:
|
0, |
t < 0 |
|
δ |
|
t = 0 , |
(16¢) |
(t) = ¥, |
|||
|
|
t > 0 |
|
|
0, |
|
|
причем выполнено условие: |
|
||
∞ |
|
|
|
∫δ (t)dt = 1. |
|
(16¢¢) |
|
−∞
Объяснить появление такой парадоксальной функции можно следующим образом: рассмотрим функцию в виде импульса конечной длительности (рис. 1,а).
|
0, |
|
|
|
|
t < - |
τ |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
τ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d (t,τ ) = |
|
|
, |
|
- |
|
|
£ t £ |
, |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
τ |
|
|
|
|
|
2 |
τ |
2 |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
t > |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
легко видеть, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
∫ d (t,τ )dt = ∫ |
|
|
dτ = 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
−∞ |
|
|
|
−τ |
2 |
τ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ(t) = lim d (t,τ ) .
τ→0
Кроме этого, рассмотрим функцию e(t,τ) (рис. 1,б):
|
0, |
|
t < − τ |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
τ |
|
τ |
|
2t + τ |
|
|
|
|||
e(t,τ ) = |
|
, − |
|
≤ t ≤ |
, |
|
2τ |
|
|||||
|
|
2 |
τ |
2 |
||
|
1 |
|
|
t > |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
очевидно, что выполнены следующие соотношения:
1(t) = lim e(t,τ ) ,
τ →0
de(t,τ ) = τ
d (t, ) .
dt
Из этих соотношений следует, что:
d1(t) = δ
(t) .
dt
а) |
б) |
Рис. 1. d-функция (а) и e- функция (б).
Отметим следующее важное свойство δ-функции:
∞
∫ f (t)δ (t − t1 )dt = f (t1 ) ,
−∞
где t1 – некий фиксированный момент времени:
|
|
0, |
||
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
δ (t − t1 ) = lim d (t,τ ) = |
|
|
, |
|
|
|
|||
τ →0 |
τ |
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
t < t |
− τ |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
t1 |
− τ ≤ t ≤ t1 |
+ τ , |
|
|
2 |
+ τ |
2 |
|
t > t |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
(16′′′)
(17)
тогда:
∞ |
|
|
t1 |
+τ |
|
||
|
1 |
|
|
2 |
|
||
∫ |
f (t)d (t − t1 )dt = |
|
∫ |
f (t)dt |
|||
|
|||||||
τ |
|
||||||
−∞ |
|
|
t1 |
− |
τ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
отсюда:
∞ |
|
|
t1 |
+τ |
|
||
|
1 |
|
|
2 |
|
||
∫ |
f (t)δ (t − t1 )dt = lim[ |
|
∫ |
f (t)dt] = lim[ |
|||
τ |
|||||||
τ→0 |
τ→0 |
||||||
−∞ |
|
|
t1 |
− |
τ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
τ
f ( t1 ) |
] = f (t1 ) |
|
τ |
||
|
Изображения
Пусть f(t)=1(t), тогда:
∞ |
− pt dt = |
e− pt |
|
∞ |
|
||||
F ( p) = ∫e |
|
|
|
|
− p |
|
|
||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||
т.е. |
|
|
|
|
L[1(t)]=1/p.
Пусть f(t)=δ(t), тогда:
=1 , p
∞∞
F ( p) = ∫e − pt δ (t)dt = ∫δ (t)dt
0 |
0 |
|
|
Пусть f(t)=eαt, тогда: |
|||
∞ |
e−( p−α)t |
|
∞ |
|
|||
F ( p) = ∫e− pt eαt dt = |
|
|
|
p −α |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|||
т.е.
L[eαt]=1/(p-α).
=1
= |
1 |
, |
|
p −α |
|||
|
|
Другие функции.
L[t]=1/p2.
L[te-αt]=1/(p+α)2.
L[tn-1e-αt/(n-1)!]=1/(p+α)n.
L[sin(ω0t)]=ω0/(p2+ω02).
L[cos(ω0t)]=p/(p2+ω02).
…
Нахождение оригиналов по изображениям
Часто изображение имеет вид рациональной дроби:
F ( p) |
= |
b |
|
p m + b |
|
p m−1 + ... + b |
|
||
1 |
m |
m−1 |
|
0 |
, |
(18) |
|||
F ( p) |
a |
|
|
p n−1 + ... + a |
|
||||
|
n |
p n + a |
n−1 |
0 |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
m<n, многочлены F1(p) и F2(p) не имеют общих корней, следовательно, дробь несократима, коэффициенты ak, bk – действительные.
Оригинал f(t) изображения (18) можно найти по формуле, называемой теоремой разложения:
−1 |
F ( p) |
n F ( p ) |
pk t |
|
|
|||
1 |
1 |
k |
|
|
||||
L [ |
F ( p) |
] = f (t) = ∑ |
F′( p ) |
e |
|
. |
(19) |
|
|
2 |
k =1 2 |
k |
|
|
|
||
Это – сумма вычетов подынтегральной функции F(p)ept в обратном преобразовании Лапласа (2) относительно всех ее полюсов pk, здесь pk - простые корни характеристического уравнения
F2(p)=0, |
(20) |
причем один из них может быть равным нулю,
F2′(p)=dF2(p)/dp.
Поскольку коэффициенты знаменателя ak,– действительные числа, то комплексные корни уравнения (20) (если они есть) являются парными сопряженными. Известно, что функции с действительными коэффициентами от комплексных сопряженных значений независимого переменного – сами комплексные сопряженные, т.е. если pi и pi* комплексные сопряженные корни характеристического уравнения (2), то:
F1 ( pi )e pit |
+ |
F1 ( pi* )e pit |
= 2 Re[ |
F1 ( pi )e pit |
] . |
(21) |
||
F ′( p |
) |
F ′( p* ) |
|
|||||
|
|
F ′( p |
) |
|
|
|||
2 i |
|
|
2 i |
|
2 i |
|
|
|
Для полюсов произвольной кратности справедлива формула:
f (t) = ∑ |
|
1 |
|
d mk −1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
[( p − pk ) mk F ( p)e pt ] |
|
|
. |
(22) |
|
(mk |
− 1)! |
|
−1 |
||||||||
k |
dp mk |
|
|
p= pk |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если:
F ( p) = |
A( p) |
|
( p − p1 )m1 ( p − pm1 +1 )...( p − pn ) |
||
|
и степень числителя меньше степени знаменателя, тогда F(p) разлагается на простые дроби:
F ( p) = |
K1 |
+ |
K 2 |
+ ... + |
K m1 |
+ |
K m1 +1 |
+ ... + |
K n |
, |
(23) |
p − p1 |
( p − p1 )2 |
( p − p1 )m1 |
p − pm1 +1 |
p − pn |
|
|
1 |
|
|
|
d m1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
K1 |
= |
|
|
|
|
|
|
[( p − p1 )m1 |
F ( p)] |
|
|
|
|
|
|||||||
|
(m − 1)! |
dp m1 −1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p= p1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
d m1 −2 |
m |
|
|
|
|
||||||||||
K 2 |
= |
|
|
|
|
|
[( p − p1 ) 1 |
F ( p)] |
|
|
|
||||||||||
(m − 2)! |
dp m1 −2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p= p1 |
(23′) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= [( p − p ) m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
K |
m |
F ( p)] |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
p= p1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
K v |
= [( p − p1 )F ( p)] |
|
p= pv |
v = m1 + 1,..., n |
|
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
Оригинал каждой дроби в разложении (23) ищется с помощью таблиц, в результате получаем:
|
K |
t |
2 |
|
Km t |
m1 −1 |
n |
|
f (t) = [K1 + K 2t + |
|
+ ... + |
|
]e p1t + |
∑ Kv e pvt . |
|||
3 |
|
|
1 |
|
||||
2! |
|
|
|
|||||
|
|
|
(m1 −1)! |
v=m1 +1 |
||||