Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / Новая папка / 35

35. Дифференциальные уравнения Пуассона и Лапласа. Оператор набла.

Дифференциальные уравнения Пуассона и Лапласа.

Возьмём равенство (1.15), связывающее дивергенцию вектора электрической индукции с плотностью пространственного заряда, подставим в него выражение электрической индукции через напряжённость поля (1.4) и градиент потенциала (1.26), в результате получим уравнение, которое описывает зависимость электрического поля от распределения электрического заряда и граничных условий:

где ε=ε’ε0 – абсолютная диэлектрическая проницаемость, вообще говоря, зависящая от координат. В однородной изотропной среде (1.27) превращается в уравнение Пуассона:

В случае равенства нулю объёмного заряда получаем уравнение Лапласа:

которое описывает зависимость электрического поля от граничных условий.

Оператор набла.

Символическая запись операций над скалярными и векторными полями:

оператор набла понимается как символический вектор, к которому применяются операции скалярного и векторного произведений. Тогда:

gradU = ÑU , divgradU = Ñ2U .