33. Поле заряженного круглого цилиндра. Поле двух бесконечно тонких линейных проводов.
Поле заряженного круглого цилиндра.
1 ∂ |
|
ρ |
∂U |
= 0 |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
ρ ∂ρ |
|
∂ρ |
|
|||
ρ ∂∂Uρ = C1 , U = C1 ln ρ + C2
E = −iρ ∂U = iρ C1
∂ρ ρ
У поверхности цилиндра (ρ=a, σ - поверхностная плотность заряда):
E = |
σ |
, σ = ε E |
|
= ε |
C1 |
, |
C = |
aσ |
|
||||||||
ε |
ρ −a |
|
ε |
|||||
n |
|
|
a |
1 |
||||
Вводя погонную плотность заряда τ=2πσa, получим:
C = |
τ |
, U = |
τ |
ln ρ + C |
|
2πε |
2πε |
|
|||
1 |
|
|
2 |
||
|
|
|
|
Поле двух бесконечно тонких линейных проводов
Провода имеют конечные погонные плотности заряда τ и -τ. Потенциал в любой точке пространства есть сумма потенциалов обоих проводов:
U = |
τ |
ln r − |
τ |
ln r = |
τ |
ln |
r1 |
|
2πε |
2πε |
2πε |
r2 |
|||||
|
1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Уравнение эквипотенциали (k - параметр):
r |
|
r |
|
|
(x − l)2 |
+ y2 |
|
1 |
= k, |
1 |
= |
|
|
|
= k |
|
|
|
|
|
|||
r2 |
|
r2 |
|
|
(x + l)2 |
+ y2 |
|
Возведя в квадрат и преобразовав, получим:
x2 + y2 − 2l |
1 + k 2 |
x = −l 2 |
1 − k 2 |
Прибавив к левой и правой части (l(1+k2)/(1-k2))2, получим уравнение:
|
1 + k 2 |
2 |
2 |
2kl |
|
2 |
|||||
x − l |
|
|
|
+ y |
|
= |
|
|
|
|
|
1 − k |
2 |
|
1 |
− k |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Это - уравнение окружности с центром в точке (x0,y0) и радиусом r0:
x = l |
1 + k 2 |
, y = 0, r = |
|
|
2kl |
. |
|||
|
|
|
|
||||||
0 |
1 |
− k 2 |
0 |
0 |
1 |
− k 2 |
|||
|
|
|
|||||||
Из геометрии известно, что произведение отрезков секущей, проведённой из некоторой внешней точки к окружности равно квадрату отрезка касательной к этой окружности, проведённой из этой же точки.
Рассмотрим окружность, проходящую через источники поля (проводда). Ось x - её секущая, произведение отрезков секущей от центра эквипотенциальной линии до проводов [x0,2], [x0,1] равно:
(x − l)(x + l) = (l |
1 + k 2 |
− l)(l |
1 + k 2 |
+ l) = ( |
l + lk 2 − l + lk 2 |
)( |
l + lk 2 + l − lk 2 |
) = |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
1 − k 2 |
|
|
1 − k 2 |
|
1 − k 2 |
|
1 − k 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2lk 2 |
|
|
2l |
|
|
|
2lk 2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
= ( |
|
|
)( |
|
|
|
) = |
|
|
|
= r02 , |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
− k |
2 |
1 − k |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
1 − k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
следовательно, радиус эквипотенциальной линии является отрезком касательной к рассматриваемой окружности, т.е эта окружность ортогональна к эквипотенциальной линии.
Вывод: окружности, проходящие через источники поля (провода), яввляются силовыми линями.
Поле заряженного круглого цилиндра. (Из лекции)
Используя теорему Гаусса, рассчитаем поле заряженного цилиндра. Пусть бесконечный цилиндр радиуса a равномерно заряжен электричеством с поверхностной плотностью σ. Определим напряжённость поля в точке, отстоящей от оси цилиндра на расстояние ρ. П роведём через точку наблюдения цилиндрическую поверхность S0 высотой h и дополним её до замкнутой поверхности плоскостями S1 и S2 (рис. 7).
Рис. 7. К расчёту поля заряженного цилиндра. |
Рис. 8. Поле заряженного цилиндра. |
Вследствие симметрии вектор электрической индукции направлен перпендикулярно к боковой поверхности S0 и одинаков во всех её точках. Таким образом, поток через площадки S1 и S2 равен нулю, и в соответствии с равенством Гаусса – Остроградского имеем:
∫DdS = ∫ DdS = D2πρh = ∑q .
S0 +S1 +S2 |
S0 |
Заряд Σq внутри поверхности S, распределён на цилиндре радиуса a с высотой h и равен:
∑q = 2πahσ .
Отсюда: D
= 2π ahσ = aσ
2πρh ρ
Поле внутри заряженного цилиндра равно нулю.
На рис. 8 показаны графики зависимости векторов электрической индукции и напряжённости от расстояния до оси цилиндра. При переходе через заряженную поверхность цилиндра вектор электрической индукции изменяется скачком на σ.