Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / Новая папка / 3

3. Законы Кирхгофа, использование для расчёта электрических цепей.

Уравнение ∑ik = 0 называют первым законом Кирхгофа, который формулируется

k

следующим образом: алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узле, равна нулю в любой момент времени. При этом с положительным (отрицательным) знаком учитывают токи, направленные от узла (к узлу).

Для узла на рис. 1.17 уравнение по первому закону Кирхгофа записывается следующим образом:

i1-i2+i3-i4=0.

Если в уравнении ∑ik = 0 токи источников тока перенести в правую часть, то получается

k

других ветвей (элементов). В уравнении ∑ik = ∑ Jk с положительным (отрицательным) знаком

k k

записывают ток источника Jk, направленный к узлу (от узла), и ток ik, направленный от узла (к узлу).

Например, если ток i4 представляет собой ток источника тока, т. е. i4=J4 (рис. 1.17), то в

соответствии с равенством ∑ik = ∑ Jk

k k

i1-i2+i3=J4.

Из закона электромагнитной индукции следует:

Уравнение ∑uk = 0 называют вторым законом Кирхгофа, который формулируется

k

следующим образом: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю в любой момент времени. При этом с положительным (отрицательным) знаком учитывают напряжения, положительные направления которых совпадают (противоположны) направлению обхода контура.

На рис. 1.18 показан пример контура цепи; путь интегрирования 1-а-2-3-б-4-1 содержит зажимы элементов. Для выбранного пути интеграл в равенстве (1.15) разбивается на четыре слагаемых:

-u1+u2-u3+u4=0,

где

u1=ϕ2-ϕ1; u2=ϕ2-ϕ3; u3=ϕ4-ϕ3; u4=ϕ4-ϕ1.

Если напряжения источников перенести в правую часть равенства ∑uk = 0 и заменить на э.

которое выражает равенство алгебраических сумм напряжений на пассивных элементах и э. д. с.

контура. В уравнении ∑uk = ∑ek с положительным (отрицательным) знаком записывают

напряжения и э. д. с., направление которых совпадает (противоположно) с направлением обхода контура.

Например, для контура на рис. 1.18 по второму закону Кирхгофа записывают (выбирая направление обхода по часовой стрелке совпадающим с направлением э. д. с. e1)

u2-u3+u4=e1

каждого элемента, дают полное математическое описание цепи.

Первый закон Кирхгофа

Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. справедливо соотношение

(1)

где - вектор плотности тока; - нормаль к участку dS замкнутой поверхности S.

Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S2 графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать

.

Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что математически можно записать, как:

(2

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю.

Второй закон Кирхгофа

- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа

записывается независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “ дерева”: дерево позволяет образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем