1. Пассивные элементы электрических цепей, основные уравнения.
Электрической цепью называют совокупность устройств и объектов, предназначенных для распределения, взаимного преобразования и передачи электрической и других видов энергии и (или) информации. Свое назначение цепь выполняет при наличии в ней электрического тока.
Электрическая цепь состоит из отдельных частей (объектов), выполняющих определенные функции и называемых элементами цепи.
Различают активные и пассивные элементы цепи. К пассивным относят элементы, в которых рассеивается и (или) накапливается энергия (резисторы, индуктивные катушки, конденсаторы, трансформаторы).
Различают двухполюсные и многополюсные (трехполюсные, четырехполюсные и т. д.) элементы цепи. Двухполюсные элементы имеют два зажима; к ним относятся источники энергии (за исключением многофазных и управляемых источников), резисторы, конденсаторы, индуктивные катушки.
Основными двухполюсными пассивными элементами схемы являются резистивный (сопротивление или проводимость), индуктивный и ёмкостный элементы.
Резистивный элемент. Двухполюсный элемент, характеризуемый зависимостью и=и(i) или i(u), называют резистивным элементом — сопротивлением или проводимостью
Если зависимость u=u(i) представляет собой прямую линию, то сопротивление (проводимость) называют линейным. Линейное сопротивление описывается соотношением (закон Ома):
и=ri, |
|
|
или |
|
|
i=gu, |
|
|
где r — сопротивление; g=1/r — |
проводимость, |
|
Сопротивление r>0 — |
пассивный элемент. Энергия, поступающая в данный элемент, |
|
t |
t |
|
W(t) = ∫ u(τ )i(τ )dτ = r ∫ i 2 (τ )dτ > 0 . |
||
0 |
0 |
|
Эта энергия преобразуется в тепловую энергию (необратимо рассеивается). При этом |
||
мощность p=i2r (закон Джоуля — |
Ленца). |
|
Сопротивление r как элемент схемы соответствует элементу цепи — резистору, если последний идеализируется.
Резистор представляет собой, например, проводящий однородный цилиндр длиной l и поперечным сечением S (рис. 1.9). Проводящие свойства материала цилиндра характеризуют удельной проводимостью σ. Сопротивление и проводимость цилиндра равныы, соответственно:
r=l/(σS), g=σS/l
Индуктивный элемент. Индуктивная катушка часто представляет собой кольцевой сердечник, на который равномерно нанесена обмотка с числом витков w (рисс. 1.12); материал сердечника характеризуется магнитной проницаемостью m. Ток i в обмотке создает магнитный поток Ф, замыкающийся в сердечнике (потоком вне сердечника можно пренебречь). Направления тока i и потока Ф связаны правилом правогго винта.
Потокосцепление катушки Y=wФ, так как поток, сцепленный с кажды м витком обмотки, в этом случае можно считать одинаковым. Магнитный поток
F = ∫BdS
S
где B — вектор магнитной индукции; S — сечение сердечника. В однородной линейной среде вектор
B = μ0 μH ,
где H — вектор напряженности магнитного поля; m0=4л×10-7 Гн/м — магнитная постоянная. По закону полного тока,
∫Hdl = iw ,
l
где l — замкнутый путь интегрирования.
Если внутренний и внешнийй диаметры сердечника превышают размерры поперечного сечения S, то поток Ф можно считать равномерно распределенным по сечению. В этом случае потокосцепление равно
Ψ = |
wBS |
i = μ |
μ |
w2 S |
|||
|
|
|
|
i |
|||
|
l |
|
|
||||
|
H |
|
0 |
|
l |
||
|
w |
|
|||||
где l определяется по среднему диаметру (по средней силовой линии).
Величина L=Y/i называется индуктивностью, она измеряется в генри (Гн). В нашем случае:
L=m0mw2S/l
Напряжение на зажимах инддуктивности равно:
uL |
= |
dY |
= |
d ( Li) |
|
dt |
dt |
||||
|
|
|
Если индуктивность постоянна, то:
di uL = L dt
Ток в линейной индуктивности равен:
i = 1L ∫ uL dt .
Как видно из формулы, напряжение uL на зажимах индуктивности отлично от нуля только при i¹const (Y¹const). Изменяющийся ток i создает изменяющийся магнитный поток. По закону электромагнитной индукции, изменение магнитного потока вызывает э. д. с. (называемую э. д. с.
самоиндукции), противодействующую, согласно правилу Ленца, изменению потока:
dΨ eL = - dt
или в случае линейной индуктивности
di eL = - L dt
(положительные направления eL и i совпадают).
Если потокосцепление (ток) возрастает, то eL<0; если потокосцепление (ток) убывает, eL>0. Напряжение на зажимах катушки (положительные направления uL и i совпадают) uL=-eL, так как оно должно уравновешивать э. д. с. eL.
Линейная индуктивность при L=const>0 - пассивный элемент. Энергия, поступающая в такой элемент, равна:
t |
t |
di(τ ) |
|
1 |
t |
Li |
2 |
(t) |
|
W(t) = ∫ uL |
(τ )i(τ )dτ = L∫ |
i(τ )dτ = |
L∫ d[i(τ )]2 = |
|
, |
||||
|
2 |
|
2 |
||||||
0 |
0 |
dτ |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
при условии i(0)=0.
Индуктивный элемент не рассеивает энергию, а запасает в своем магнитном поле. Емкостной элемент. Рассмотрим конденсатор, представляющий собой два проводящих
параллельно расположенных электрода площадью S, разделенных диэлектрическим слоем толщиной d, свойства которого характеризуются диэлектрической проницаемостью e (рис. 1.15).
При напряжении u=j1-j2>0 между электродами на одном из них будет положительный заряд q+=q, на другом — отрицательный заряд q-=-q. Заряд
q+ = ∫ DdS ,
S
где D — вектор электрического смещения, связанный в однородной линейной среде с вектором
напряженности E равенством
D = ε0ε E
(e0=1/(4p×9×109) Ф/м — электрическая постоянная).
Если поле в конденсаторе считают равномерным, то
q+ = DS = ε0 |
εES = |
ε0 εS(ϕ1 −ϕ2 ) |
= ε0 εS uC |
|
d |
||||
|
|
d |
Величина С=q/uC называется емкостью. Емкость измеряется в фарадах (Ф). В нашем случае:
C= εd0 ε
Улинейного емкостного элемента заряд q пропорционален напряжению:
q=CuC
Ток через емкость i = dq = d (CuC )
dt dt
Если С=const, то
i = C duC (1.9) dt
Напряжение на зажимах емкости
1 uC = C
Обозначение линейной емкости приведено на рис. 1.14.
Как видно из равенства, ток через емкость отличен от нуля только при иС³const. Изменение напряжения на электродах вызывает изменение величины заряда каждого из них. Если напряжение возрастает, ток i>0, т. е. конденсатор заряжается; заряд q=q+=-q- увеличивается. Если напряжение убывает, ток i<0, т. е. конденсатор разряжается; заряд q=q+=-q- уменьшается.
Формула (1. 9) записана для совпадающих положительных направлений иС и i (рис. 1.14 и 1.15); при этом знаки иС и q+=-q- всегда одинаковы. Ток i между электродами конденсатора является током смещения.
Линейная емкость при С=const>0 представляет собой пассивный элемент. Энергия, поступающая в такой элемент,
t |
t |
du |
C |
(τ) |
|
1 |
t |
Cu2 |
(t) |
|
W(t) = ∫uC |
(τ)i(τ)dτ = C∫uC (τ) |
|
|
dτ = |
|
C∫d[uC2 (τ)] = |
C |
|
> 0 |
|
dτ |
2 |
2 |
|
|||||||
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
[при иС(0)=0].
В данном случае энергия запасается в электрическом поле, связанном с емкостью. Процесс запасания энергии как в магнитном, так и в электрическом полях является обратимым. Запасенная энергия может быть отдана другим элементам цепи. Например, энергия заряженного конденсатора при разряде его на сопротивление рассеивается в этом сопротивлении; разряжающийся конденсатор можно рассматривать в указанном смысле как активный элемент —
источник энергии.