40. Собственная и взаимная индуктивность.

Собственная и взаимная индуктивность.

Рассмотрим два замкнутых контура l1 и l2, произвольной формы и произвольно расположенных друг относительно друга. Если по контуру l1 течёт ток I1, то образуется магнитное поле, силовые линии которого, пронизывают оба контура. Магнитный поток через контур l1 пропорционален току:

Φ11 = L1 I1 ,

(0.1)

где L1 – индуктивность контура, которая зависит от его формы и магнитной

 

проницаемости среды.

 

Магнитный поток через контур l2 также пропорционален току:

 

Φ21 = M 21 I1 ,

(0.2)

где M21 – взаимная индуктивность контуров, которая зависит от их формы и взаимного расположения, а также магнитной проницаемости среды.

Аналогично, если по контуру l2 течёт ток I2, то

Φ22 = L2 I2 , Φ12 = M12 I2 .

Рис. 19. К определению индуктивности и взаимной индуктивности. Ток течёт только в контуре l1.

В общем случае, когда текут оба тока I1 и I2, потоки, создаваемые токами складываются:

Φ1 = L1 I1 + M12 I2 , Φ2 = L2 I2 + M 21 I1 .

(0.3)

Положительное направление нормали создаёт с направлением тока правовинтовую систему. Тогда индуктивности L1 и L2 будут всегда положительны, а взаимные индуктивности M21 и M12 могут быть как положительными и отрицательными в зависимости от направления токов в контурах l1 и l2.

Поток создаваемый током I1 в контуре l2:

Φ21 = μ H1 dS2 ,

S2

где S2 – произвольная поверхность, ограниченная контуром l2, H1 - напряжённость магнитного поля, созданного током I1 в точках поверхности S2. Т.к. μ H = rotA , где A - вектор-потенциал от тока первого контура, то на основании теоремы Стокса:

Φ

 

=

μ I1

 

 

 

 

dl1 dl2

 

.

 

(0.4)

 

 

∫ ∫

R

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

l

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Φ21

 

μ

 

 

 

 

M

 

=

=

 

dl1 dl2

,

(0.5)

21

I

 

 

 

 

 

 

 

 

∫ ∫

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

l2 l2

 

 

 

где R - расстояние между произвольными элементами dl1 и dl2 первого и второго контуров.

Из (1.59) следует:

M

 

= M

 

= M

 

,

Φ21

=

I1

,

(0.6)

21

12

B3

Φ12

I2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в этом состоит принцип взаимности: ток в первом контуре вызывает такой же поток через второй контур, как и равный ток во втором контуре вызывает в первом контуре.

Для расчёта индуктивности контура используем аналогичную формулу:

Li

=

Φi

=

μ

∫ ∫

 

dli

 

dli

, i = 1, 2 ,

(0.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

Ii

l

l

R

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

 

 

 

где: dli , dli′ - элементы контура li.

Формула (1.61) – приближённая, для повышения точности надо учитывать объёмное распределение плотности тока:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ

 

 

 

 

 

 

 

Li

=

∫ ∫

ji ji dVdV

 

, i = 1, 2 ,

(0.8)

2

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

Ii

l

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

где

 

,

 

 

- плотности тока в различных элементах одного объёма проводника dV , dV ′ .

ji

ji

Соседние файлы в папке Новая папка