

40. Собственная и взаимная индуктивность.
Собственная и взаимная индуктивность.
Рассмотрим два замкнутых контура l1 и l2, произвольной формы и произвольно расположенных друг относительно друга. Если по контуру l1 течёт ток I1, то образуется магнитное поле, силовые линии которого, пронизывают оба контура. Магнитный поток через контур l1 пропорционален току:
Φ11 = L1 I1 , |
(0.1) |
где L1 – индуктивность контура, которая зависит от его формы и магнитной |
|
проницаемости среды. |
|
Магнитный поток через контур l2 также пропорционален току: |
|
Φ21 = M 21 I1 , |
(0.2) |
где M21 – взаимная индуктивность контуров, которая зависит от их формы и взаимного расположения, а также магнитной проницаемости среды.
Аналогично, если по контуру l2 течёт ток I2, то
Φ22 = L2 I2 , Φ12 = M12 I2 .
Рис. 19. К определению индуктивности и взаимной индуктивности. Ток течёт только в контуре l1.
В общем случае, когда текут оба тока I1 и I2, потоки, создаваемые токами складываются:

Φ1 = L1 I1 + M12 I2 , Φ2 = L2 I2 + M 21 I1 . |
(0.3) |
Положительное направление нормали создаёт с направлением тока правовинтовую систему. Тогда индуктивности L1 и L2 будут всегда положительны, а взаимные индуктивности M21 и M12 могут быть как положительными и отрицательными в зависимости от направления токов в контурах l1 и l2.
Поток создаваемый током I1 в контуре l2:
Φ21 = ∫ μ H1 dS2 ,
S2
где S2 – произвольная поверхность, ограниченная контуром l2, H1 - напряжённость магнитного поля, созданного током I1 в точках поверхности S2. Т.к. μ H = rotA , где A - вектор-потенциал от тока первого контура, то на основании теоремы Стокса:
Φ |
|
= |
μ I1 |
|
|
|
|
dl1 dl2 |
|
. |
|
(0.4) |
||
|
|
4π |
∫ ∫ |
R |
||||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
l |
l |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Φ21 |
|
μ |
|
|
|
|
|||||
M |
|
= |
= |
|
dl1 dl2 |
, |
(0.5) |
|||||||
21 |
I |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
4π ∫ ∫ |
R |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
l2 l2 |
|
|
|
где R - расстояние между произвольными элементами dl1 и dl2 первого и второго контуров.
Из (1.59) следует:
M |
|
= M |
|
= M |
|
, |
Φ21 |
= |
I1 |
, |
(0.6) |
|
21 |
12 |
B3 |
Φ12 |
I2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в этом состоит принцип взаимности: ток в первом контуре вызывает такой же поток через второй контур, как и равный ток во втором контуре вызывает в первом контуре.
Для расчёта индуктивности контура используем аналогичную формулу:
Li |
= |
Φi |
= |
μ |
∫ ∫ |
|
dli |
|
dli′ |
, i = 1, 2 , |
(0.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Ii |
4π l |
l |
R |
|
||||||
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
где: dli , dli′ - элементы контура li.
Формула (1.61) – приближённая, для повышения точности надо учитывать объёмное распределение плотности тока:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
′ |
|
||||
|
|
|
Li |
= |
∫ ∫ |
ji ji dVdV |
|
, i = 1, 2 , |
(0.8) |
||||||
2 |
|
|
|
R |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4π Ii |
l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
, |
|
|
- плотности тока в различных элементах одного объёма проводника dV , dV ′ . |
||||||||||
ji |
ji′ |