29. Расчёт переходных процессов операторным методом. Свойства преобразования Лапласа, изображение производных и интегралов.
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ – с помощью преобразования Лапласа.
Определения.
Оригиналом называется функция переменной t (времени), имеющая следующие свойства:
1. f(t)=0, если t<0;
2. f (t) < Meσ 0t , σ 0 > 0, M > 0 ;
3.функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е. на каждом конечном интервале она имеет конечное число максимумов и минимумов и разрывов первого рода.
Сопоставим ей функцию комплексной переменной p=σ+jω, задаваемую формулой
(1):
∞ |
|
F ( p) = ∫ e− pt f (t)dt , |
(1) |
0 |
|
функция F(p) называется изображением по Лапласу функции f(t).
Если функция f(t) удовлетворяет вышеперечисленным условиям, то интеграл (1)
∞
абсолютно сходится в области Rep=σ>σ0 (т.е. сходится интеграл ∫ e− pt f (t) dt ). В этой
0
области функция F(p) является аналитической функцией комплексного аргумента, т.е. в каждой точке она разлагается в степенной ряд.
Обозначения изображения по Лапласу:
|
|
, |
|
F(p)=L[f(t)], |
|
. |
||||
Обратное преобразование Лапласа: |
|
|
||||||||
|
1 |
σ + j∞ |
|
1 |
|
σ + jω |
|
|||
f (t) = |
∫ |
F ( p)e pt dt = |
lim |
∫ |
F ( p)e pt dt, |
σ > σ 0 , |
||||
2πj |
|
|||||||||
|
|
|
2πj ω →∞ |
|
|
|||||
|
|
σ − j∞ |
|
|
|
σ − jω |
|
|||
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обозначение:
L-1[F(p)]=f(t),
Основные свойства прямого преобразования Лапласа.
1. Свойство линейности: если
Fk(p)=L[fk(t)],
то:
∑ ak Fk ( p) = L[∑ ak f k (t)] , |
(3) |
|
k |
k |
|
где ak - числа.
Т.е. изображение линейной комбинации оригиналов есть линейная комбинация изображений.
2. Теорема запаздывания.
L[ f (t − t0 )] = e− pt0 L[ f (t)] = e− pt0 F ( p) . |
(4) |
3. Теорема смещения. |
|
L[e −αt f (t)] = F ( p + α ) , |
(5) |
где: α - положительная или отрицательная постоянная.
4. Умножение изображений: изображение свертки оригиналов равно произведению изображений:
t |
|
|
L[∫ f1 (t − τ ) f 2 (τ )dτ ] = F1 ( p)F2 ( p) |
(6) |
|
0 |
|
|
5. Предельные соотношения: |
|
|
если lim f (t) , то |
|
|
t →0+ |
|
|
lim f (t) = |
f (0+ ) = lim[ pF ( p)] , |
(7) |
t →0+ |
p→∞ |
|
если lim f (t) , то |
|
|
t→∞ |
|
|
lim f (t) = lim[ pF ( p)] , |
(8) |
|
t →∞ |
p→0 |
|
6. Изображение производной |
|
|
L[f′(t)]=pF(p)-f(0+), |
(9) |
|
где f(0+) значение функции в начальный момент времени. |
|
|
Изображение n-й производной имеет вид: |
|
|
L[f(n)(t)]=pnF(p)-pn-1f(0+)-pn-2f′(0+)-…- f(n-1)(0+). |
(10) |
|
В частном случае, при нулевых начальных условиях: |
|
|
L[f′(t)]=pF(p), |
(11) |
|
L[f(n)(t)]=pnF(p). |
(12) |
|
7. Изображение интеграла
t
L[∫ f (τ )dτ ] = F ( p) .
p
0