29. Расчёт переходных процессов операторным методом. Свойства преобразования Лапласа, изображение производных и интегралов.

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ – с помощью преобразования Лапласа.

Определения.

Оригиналом называется функция переменной t (времени), имеющая следующие свойства:

1. f(t)=0, если t<0;

2. f (t) < Meσ 0t , σ 0 > 0, M > 0 ;

3.функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е. на каждом конечном интервале она имеет конечное число максимумов и минимумов и разрывов первого рода.

Сопоставим ей функцию комплексной переменной p=σ+jω, задаваемую формулой

(1):

 

F ( p) = ept f (t)dt ,

(1)

0

 

функция F(p) называется изображением по Лапласу функции f(t).

Если функция f(t) удовлетворяет вышеперечисленным условиям, то интеграл (1)

абсолютно сходится в области Rep=σ>σ0 (т.е. сходится интеграл ept f (t) dt ). В этой

0

области функция F(p) является аналитической функцией комплексного аргумента, т.е. в каждой точке она разлагается в степенной ряд.

Обозначения изображения по Лапласу:

 

 

,

 

F(p)=L[f(t)],

 

.

Обратное преобразование Лапласа:

 

 

 

1

σ + j

 

1

 

σ + jω

 

f (t) =

F ( p)e pt dt =

lim

F ( p)e pt dt,

σ > σ 0 ,

2πj

 

 

 

 

2πj ω →∞

 

 

 

 

σ − j

 

 

 

σ − jω

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обозначение:

L-1[F(p)]=f(t),

Основные свойства прямого преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности: если

Fk(p)=L[fk(t)],

то:

ak Fk ( p) = L[ak f k (t)] ,

(3)

k

k

 

где ak - числа.

Т.е. изображение линейной комбинации оригиналов есть линейная комбинация изображений.

2. Теорема запаздывания.

L[ f (t t0 )] = ept0 L[ f (t)] = ept0 F ( p) .

(4)

3. Теорема смещения.

 

L[e −αt f (t)] = F ( p + α ) ,

(5)

где: α - положительная или отрицательная постоянная.

4. Умножение изображений: изображение свертки оригиналов равно произведению изображений:

t

 

 

L[f1 (t − τ ) f 2 (τ )dτ ] = F1 ( p)F2 ( p)

(6)

0

 

 

5. Предельные соотношения:

 

если lim f (t) , то

 

t →0+

 

 

lim f (t) =

f (0+ ) = lim[ pF ( p)] ,

(7)

t →0+

p→∞

 

если lim f (t) , то

 

t→∞

 

 

lim f (t) = lim[ pF ( p)] ,

(8)

t →∞

p→0

 

6. Изображение производной

 

L[f′(t)]=pF(p)-f(0+),

(9)

где f(0+) значение функции в начальный момент времени.

 

Изображение n-й производной имеет вид:

 

L[f(n)(t)]=pnF(p)-pn-1f(0+)-pn-2f′(0+)-…- f(n-1)(0+).

(10)

В частном случае, при нулевых начальных условиях:

 

L[f′(t)]=pF(p),

(11)

L[f(n)(t)]=pnF(p).

(12)

7. Изображение интеграла

t

L[f (τ )dτ ] = F ( p) .

p

0

Соседние файлы в папке Новая папка