Добавил:

ICK Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Предмет:

Электротехника

Файл:

24.0 25

.0.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2014

Размер:

114.31 Кб

Скачать

☆

24. Расчет переходных процессов классическим методом. Корни характеристического уравнения. Характер переходного процесса.

25. Расчёт переходных процессов классическим методом. Дифференцциальные уравнения, свободная и принуждённая составляющие.

Переходные процессы в последовательном RLC-контуре			R, L, C; U c (0− ) = U 0

Характеристическое уравнение

Z ( p) =

+ R + pL =

RC p + LCp 2 + 1

= 0

LCp 2 + RCp + 1 = 0 p 2 +

p +

= 0

= −

R 2

−

(8)

1,2

4L2

независимые начальные условвия

U c (0+ ) = U c (0− ) = U 0

I L (0+ ) = I L (0− ) = 0

эквивалентная схема для момента 0+

ic = (0+ ) = iR (0+ ) = 0

U R (0+ ) = 0 U L (0+ ) = U 0

dU c

I L

= 0

dI L

U L

U 0

Принужденная составляющая любой величины равна нулю (в схеме после коммутации нет источников питания ) т.е. переходный процесс состоит из одной свободной составляющей. В зависимости от знака подкоренного выражения в (8) свободная составляющая будет иметь различный вид.


Rkp2	−	1	= 0 R		= 2	L
				kp			(9)
4L2							(9)
		LC				C
		LC				C

величина, определяемая форммулой (9) называется критическим сопротивление м контура.

Если R > Rkp ,то корни характеристического уравнения, определяемые формуло й (8), действительные

различные и переходный проццесс имеет вид:	U		(t) = U		P t	+ A	P t	p , p		<0
		c		св	(t) = A e 1		e 2		2
					1	2		1

Процесс имеет апериодический характер
U c (0) = A1 + A2 = U 0					A1 = U 0 − A2
	dU c	= p1 A1	+ p2 A2	= 0	p1U 0 − p1 A2 + p2 A2	= 0

	dt
		0

U c

I c

p1U

A1 = U 0

−

p1U 0

p2U 0

− p2

p2 − p1

U 0

( p

e p1t

− p e p2t

)

p2 − p1

= C

dU c

CU 0 p1 p2

(e p1t − e p2t )

p2 − p1

U 0

(e p1t − e p2t ) = I

L( p2 − p1 )

= L

dI L

U 0

( p e p1t

− p

e p2t )

p2 − p1

(10)

p p		=	1	(см. алгебру)
	2
1			LC

p = −

R 2

−

;

= −

−

R 2

−

4L2

p2 − p1

= −2

R 2

−

>0, −

4L2

− p

график U c (t)

Если R = Rkp то корни действительные равные

(11)

(12)

t1 - максимум тока ( по модулю) t2 - максимум U L и точка перегиба I , ищется из условия

dU L

= 0

с ростом L падают

p , p

т.е. растет время перезарядки, с ростом C то же.

Если R = Rkp , то корни характеристического уравнения действительные равные

− 1

p = p

= p = −

= −2

тогда решение имеет вид

C 2L

= ( A + A t)e pt

i = C

dU c

= C( A + pA + pA t)e pt

U c

(0) = A1

= U 0 ;

dU c

i(0)

= A2

отсюда :

U C (t) = U 0 (1 − pt)e pt

i = −Cp 2U 0te pt = −C

0te pt = −

U 0

te pt

U i (t) = L

= −U

0 (1 + pt)e pt

+ pA1 = 0

A2 = − pU0

(13)

(14)

(15)кривые такие же по форме.

Если R<RKP , то корни характеристического уравнения комплексные сопряженные.

Выведем обозначения :

α =

, ϖ

−

R 2

2π

(16)

св

4L2

св

Тогда

α 2 + ϖ 2

(17)

св

где ϖ св

− угловая частота и Tсв − период свободных или собственных колебаний контура, α −

коэффициент затухания, корни характеристического уравнения имеют вид:

P1,2 = −α ± jϖ св

(18)

(t) = Ae−αt

sin(ϖ

св

t +ψ )

(19)

i(t) = C

dU c

= CAe −αt [−α sin(ω

t +ψ + ω

cos(ω

t +ψ )]

(20)

св

U c (0) = Asinψ = U 0

i(0) = CA[−α sinψ + ωсв cosψ ] = 0

Acosψ =

V0 tgψ

св

ω св

A =

U 0

;

sinψ =

ω св

;

cosψ =

sinψ

ω св2

+ α 2

ω св2

+ α 2

A =

U 0

2 + α 2

ω св

св

ωсв

(t) =

U 0

e−αt

sin(ω

t +ψ ) = U

−αt sin(ω

t +ψ ) , U

U 0

(20)

св

ωсв

св

(ψ = arctg

ω св

)

i = C

U 0

e −αt [− cosψ sin(ω

t +ψ ) + sinψ cos(ω

+ψ )]

α 2

+ ω 2

ωсв

св

= C

U 0

e−αt sin(ψ − ω

t −ψ ) =

U 0

e−αt sin(ω

е + π ) = I

e−αt sin(ω

t + π )

св

ω св LC

ωсв L

I m

U 0

ω св L

(t) = L

= L

U 0

e−αt [−α sin(ω

t + π ) + ω

cos(ω

t + π )] =

св

ωсв L

= e−αt

U 0

[− cosψ sin(ωсв + π ) + sinψ cos(ωсвt + π )] =

α 2

+ ωc2в

ω св

= e−αt

U 0

sin(ψ − ω t − π ) =

α 2

+ ω 2

ω св

св

= e−αt

U 0

sin(ω свt −ψ ) = e−αtU m sin(ωсвt −ψ )

(22)

ωсв

ωсв и α - частота собственных колебаний и коэффициент затухания , определяются только параметрами R, L, C, начальная фаза ψ зависит только от них ,U m , I m кроме параметров контура зависят также от U 0

Быстрота затухания характеризуется отношением напряжений в момент времени t и t + Tсв

(t)

e−αt sin(ω

св

t +ψ )

= eαTсв

(t + T )

−α (t +Tсd ) sin(ω

cв

(t + T

) +ψ )

св

Эта постоянная величина - от времени не зависит, а зависит только от R,L,C; она называется

декремент колебания. Логарифмический декремент колебания:

= ln

U c (t)

=αTсв

(23)

U c (t +Tсв )

При малом декременте процесс затухает медленно, с ростом R растет декремент и период

собственных колебаний Tсв , когда

Rкр

R = R

= 2

кр

, α

, ω

св

−

= 0 T

= ∞

LC 4L2

C 4L2

св

т. е. процесс становится апериодическим при R → 0 , ωсв

→ω0 =

, tgψ → ∞

ψ → π ,

α → 0

U c =U 0 sin(ω0 t + π ) ,

i =

U 0

sin(ω0t +π)

U L =U 0 sin(ω0t − π ) ,

ρ =

т. е. колебания происходят без затухания с резонансной частотой контура , энергия переходит из электрического поля емкости в магнитное поле индуктивности и обратно.

Соседние файлы в папке Новая папка

#
20.05.201474.23 Кб819.0.pdf
#
20.05.201481.55 Кб92.0.pdf
#
20.05.2014101.65 Кб820.0.pdf
#
20.05.201468.31 Кб921.0.pdf
#
20.05.2014149.66 Кб822.0 23.0 24.0.pdf
#
20.05.2014114.31 Кб824.0 25.0.pdf
#
20.05.201472.88 Кб826.0.pdf
#
20.05.201490.85 Кб927.0.pdf
#
20.05.201482.27 Кб828.0.pdf
#
20.05.201463.03 Кб829.0.pdf
#
20.05.201492.5 Кб83.0.pdf