Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / Новая папка / 39

Теорема Стокса.

Рассмотрим произвольную поверхность S в поле вектора A , которая ограничена контуром l (рис. 17). Разобьём эту поверхность произвольным образом на сетку из бесконечного числа бесконечно малых площадок, для любой такой площадки, пользуясь определением ротора (1.49), можно записать:

где dS - бесконечно малая площадка, охваченная контуром li. Правая часть равенства

(1.53) есть скалярное произведение вектора rot A на вектор-площадку dS и является потоком ротора вектора A через площадку dS :

rotn AdS = rot AdS .

Суммируя последнее выражение по всем элементарным площадкам получим поток

ротора вектора A через площадку S:

∫ rot AdS .

S

При суммировании левых частей равенства (1.53) следует учесть, что интегралы по всем смежным сторонам войдут в сумму два раза и при том с разными знаками. Так смежная сторона площадок 1 и 2 в циркуляции по контуру площадки 1 по часовой стрелке будет пройдена слева направо, а в циркуляции по контуру площадки 2 по часовой стрелке - справа налево. Следовательно, в результате суммирования интегралы по всем внутренним сторонам контуров li взаимно уничтожатся и останутся только интегралы по

сторонам, лежащим на внешнем контуре l, сумма которых равна циркуляции вектора A по внешнему контуру l:

∫ Adl .

l

Таким образом получаем равенство, именуемое теоремой Стокса:

Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна потоку его ротора через поверхность, ограниченную этим контуром.

Рис. 17. К доказательству теоремы Стокса.

Из теоремы Стокса (1.54) вытекает, что поток ротора через поверхность S зависит только от формы и полож ения контура l, ограничивающего эту поверхность и не зависит от её формы, см. рис. 18.

Рис. 18. Три произвольные поверхности, опирающиеся на один контур l.