Вопросы к экзамену+ответы(шпоры). Р-РС-ЭП 2 курс, 2 семестр Рябов Н.И. / Ответы / Новая папка / 32

32. Поток вектора индукц ии. Теорема Гаусса - Остроградского.

Поток вектора индукции. Теорема Гаусса – Остроградского.

Вектором – площадкой называется векор, направленный перрпендикулярно площадке и численно равный её величине. Направление вектора связано с направлением обхода площадки правилом правого буравчика: если буравчик вращщается по направлению обхода площадки, то буравчик движется по направлению вектора – площадки, или с конца вектора – площадки положительное направление обхода уидится направленным против часовой стрелки. В других случаях положительным считают направление, внешнее для заданной области и т.п.

Пусть имеется произвольная конечная поверхность. Разобьём её на бесконечно малые площадки и каждую из них зададим в виде вектора.

Потоком вектора D через площадку dS называется произвеедение длин этих векторов на косинус угла между ними. Это – скалярное произведение двух векторов:

D × dS = D × dS × cos(D, dS ) .

Физический смысл: если D - скорость в потоке жидкости, то скалярное

произведение D × dS - количество жидкости, протекающей через пллощадку в единицу времени.

Пусть имеется замкнутая поверхность произвольной формы, окружающая

точечный заряд q. Поток вектора D через площадку dS равен:

Рис. 4. Поток вектора через элементарную площадку.

Рис. 5. К выводу равенства Гаусса – Остроградского.

Здесь d – элементарный телесный угол, под которым видна площадка dS,

рассматриваемая из точки расположения заряда, а dS совпадает по направлению с внешней нормалью к S. Заметим, что мерой телесного угла d является отношение

сферической поверхност и dS0 к квадрату её радиуса, причём dS0 = dS × cos(D, dS ) .

Полный поток вектора через замкнутую поверхность равен:

N = ∫DdS

S

В соответствии с (1.12) получаем

N = 41π ∫qd W = q ,

т.к. сумма телесных углов вокруг точки равна 4π.

Рис. 6. Заряд q находится вне объёма, ограниченного поверхностью S.

Если замкнутая поверхность S не содержит внутри себя заряд (рис. 6), то при обходе поверхности от точки А до точки Б по обращённой к заряду стороне поверхности значение телесного угла возрастает, а затем при движении от Б к А по противоположной заряду стороне поверхности уменьшается и по возращению в точку А телесный угол становится равным нулю.

Пусть в объёме, ограниченной поверхностью S, имеется множество точечных зарядов q1, q2, …, qn. На основании принципа суперпозиции имеем:

D = D 1 +D 2 +... + D n ,

где D 1 , D 2 ,..., D n - векторы индукции созданные в рассматриваемоой точке зарядами q1, q2, …,

N = ∫DdS = ∫D 1 dS + ∫D 2 dS +... + ∫D n dS .

S S S S

Это – равенство Остроградского – Гаусса: поток вектора индукции через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри объёма, ограниченного этой поверхностью.

Используя теорему Гаусса, рассчитаем поле заряженного цилиндра. Пусть бесконечный цилиндр радиуса a равномерно заряжен электричеством с поверхностной плотностью σ. Определимм напряжённость поля в точке, отстоящей от оси цилиндра на расстояние ρ. Проведём через точку наблюдения цилиндрическую поверхность S0 высотой h и дополним её до замкнутой поверхности плоскостями S1 и S2 (рис. 7).

Рис. 7. К расчёту поля заряженного цилиндра.

Рис. 8. Поле заряженного цилиндра.

Вследствие симметрии вектор электрической индукции направлен перпендикулярно к боковой поверхности S0 и одинаков во всех её точках. Таким образом, поток через площадки S1 и S2 равен нулю, и в соответствии с равенством Гаусса – Остроградского имеем:

∫DdS = ∫ Dd S = D2πρh = ∑q .

S0 +S1 +S2 S0

Заряд Σq внутри поверхности S, распределён на цилиндре раадиуса a с высотой h и

равен:

∑q = 2πahσ .

Отсюда:

D

= 2πahσ = aσ

2πρh ρ

Поле внутри заряженногоо цилиндра равно нулю.

На рис. 8 показаныы графики зависимости векторов электрической индукции и напряжённости от расстояния до оси цилиндра. При переходе через заряженную поверхность цилиндра вектор электрической индукции изменяется скачком на σ.